В некотором царстве-государстве 100 городов и из каждого из них выходит ровно 90 дорог. Сколько всего дорог в этом царстве — государстве?

Краткий ответ: 4500 дорог.

Как рассуждать:

1. В каждом из 100 городов начинается 90 дорог. Если перемножить
   \[ 100\cdot 90=9000, \] получится число «концов дорог».
2. Каждая дорога соединяет два города, значит, у неё два конца. Поэтому при таком подсчёте каждая дорога посчитана дважды.
3. Значит, всего дорог: \[ \frac{100\cdot 90}{2}=4500. \]

Проверка: \(4500\) дорог дают \(4500\cdot 2=9000\) концов, а на 100 городов приходится \(9000:100=90\) дорог у каждого. Всё сходится.

Общий принцип: если у всех \(n\) городов степень \(k\), то число дорог равно
\[ E=\frac{nk}{2}. \]