1006

Краткий ответ (обычный школьный случай, когда высота падает на сторону \(28\) см):

Третья сторона равна \(25\) см, а медианы:

\[ m_{17}=\frac{3\sqrt{281}}{2}\text{ см}\approx25{,}1\text{ см}, \quad m_{25}=19{,}5\text{ см}, \quad m_{28}=\sqrt{261}\text{ см}\approx16{,}2\text{ см}. \]

Здесь \(m_{17}\) — медиана к стороне \(17\) см и т. д.

Как это получить

Пусть \(AB=28\) см — большая из данных сторон, \(AC=17\) см, а высота \(CH=15\) см.

Тогда из прямоугольного треугольника \(ACH\):

\[ AH=\sqrt{AC^2-CH^2} =\sqrt{17^2-15^2} =\sqrt{289-225}=8\text{ см}. \]

Если основание высоты \(H\) лежит на стороне \(AB\), то

\[ BH=28-8=20\text{ см}, \]

поэтому

\[ BC=\sqrt{20^2+15^2} =\sqrt{400+225}=25\text{ см}. \]

Удобно поставить координаты:

\[ A(0;0),\quad B(28;0),\quad C(8;15). \]

Тогда середины сторон:

\[ M_{AB}(14;0),\quad M_{AC}(4;7{,}5),\quad M_{BC}(18;7{,}5). \]

Медианы:

\[ CM_{AB}=\sqrt{(14-8)^2+15^2} =\sqrt{36+225} =\sqrt{261}, \]

\[ BM_{AC}=\sqrt{(28-4)^2+7{,}5^2} =\sqrt{24^2+7{,}5^2} =\frac{3\sqrt{281}}{2}, \]

\[ AM_{BC}=\sqrt{18^2+7{,}5^2} =\sqrt{324+56{,}25} =19{,}5. \]

Важное уточнение

В условии не сказано, лежит ли основание высоты на самой стороне \(28\) см. Если оно лежит на её продолжении, то

\[ BH=28+8=36\text{ см}, \]

\[ BC=\sqrt{36^2+15^2}=39\text{ см}. \]

Тогда треугольник имеет стороны \(17\), \(28\), \(39\), и его медианы:

\[ m_{17}=\frac{\sqrt{4321}}{2}\text{ см},\quad m_{28}=\sqrt{709}\text{ см},\quad m_{39}=12{,}5\text{ см}. \]

То есть строго возможны два случая. В большинстве школьных решений берут первый — когда высота попадает на сторону \(28\) см.