90. Чему равно давление гелия на стенки сосуда ёмкостью 10 л, если в нём находится 4,5·10³⁰ молекул?

На фото два номера — 90 и 91. Они на одну и ту же формулу, поэтому разберу оба: в №90 ищем давление, в №91 — число молекул.

Краткий ответ \[ \text{№90: } p\approx1{,}6\cdot10^{12}\ \text{Па}\quad(\approx1{,}6\ \text{ТПа}). \] \[ \text{№91: } N\approx4{,}4\cdot10^{22}\ \text{молекул}. \]

Главная формула

Молекулы ударяются о стенку и передают ей импульс. Для идеального газа давление связано со средним квадратом скорости так: \[ p=\frac13 n m_0\overline{v^2},\qquad n=\frac{N}{V}. \] Здесь \(n\) — концентрация молекул, \(m_0\) — масса одной молекулы, \(\overline{v^2}\) — средний квадрат скорости. Множитель \(1/3\) появляется потому, что в среднем на одно направление приходится треть квадрата скорости.

Удобная форма: \[ pV=\frac13 N m_0\overline{v^2}. \]

№90. Давление гелия

Дано: \[ V=10\ \text{л}=10^{-2}\ \text{м}^3,\quad N=4{,}5\cdot10^{30}, \] \[ m_0=6{,}64\cdot10^{-27}\ \text{кг},\quad \overline{v^2}=1{,}6\cdot10^{6}\ \text{м}^2/\text{с}^2. \]

Сначала найдём \(m_0\overline{v^2}\): \[ m_0\overline{v^2} =6{,}64\cdot10^{-27}\cdot1{,}6\cdot10^{6} =1{,}0624\cdot10^{-20}\ \text{Дж}. \]

Теперь давление: \[ p=\frac{N m_0\overline{v^2}}{3V} =\frac{4{,}5\cdot10^{30}\cdot1{,}0624\cdot10^{-20}}{3\cdot10^{-2}} \approx1{,}59\cdot10^{12}\ \text{Па}. \]

\[ \boxed{p\approx1{,}6\cdot10^{12}\ \text{Па}} \]

Давление получилось очень большим, потому что по условию в 10 л задано огромное число молекул.

№91. Число молекул воздуха

Дано: \[ V=1{,}5\cdot10^{-3}\ \text{м}^3,\quad \overline{v^2}=3{,}2\cdot10^{5}\ \text{м}^2/\text{с}^2, \] \[ m_0=48{,}1\cdot10^{-27}\ \text{кг},\quad p=1{,}5\cdot10^{5}\ \text{Па}. \]

Из формулы \(pV=\frac13 N m_0\overline{v^2}\) выражаем \(N\): \[ N=\frac{3pV}{m_0\overline{v^2}}. \]

Считаем знаменатель: \[ m_0\overline{v^2} =48{,}1\cdot10^{-27}\cdot3{,}2\cdot10^{5} =1{,}5392\cdot10^{-20}\ \text{Дж}. \]

Числитель: \[ 3pV=3\cdot1{,}5\cdot10^{5}\cdot1{,}5\cdot10^{-3}=675. \]

Тогда: \[ N=\frac{675}{1{,}5392\cdot10^{-20}} \approx4{,}39\cdot10^{22}. \]

\[ \boxed{N\approx4{,}4\cdot10^{22}\ \text{молекул}} \]

Проверка: если подставить \(N\) обратно, \(n=N/V\approx2{,}9\cdot10^{25}\ \text{м}^{-3}\), и \(p=\frac13 n m_0\overline{v^2}\approx1{,}5\cdot10^5\ \text{Па}\) — сходится.

Что запомнить

• Литры обязательно переводим в кубические метры: \(1\ \text{л}=10^{-3}\ \text{м}^3\).
• \(\overline{v^2}\) — это уже средний квадрат скорости; корень из него не извлекаем, если в формуле стоит именно \(\overline{v^2}\).
• Если неизвестно \(N\), удобно сначала записать \(pV=\frac13 Nm_0\overline{v^2}\), а потом выразить нужную величину.