сделай 1 вариант

Краткие ответы (вариант 1)

1. \(1\)
2. \(1\)
3. \(1\)
4. \(x=-4\)
5. \(x=2;\ x=9\)
6. \(x=6;\ x=\dfrac{1}{216}\)
7. \(x\in(4;+\infty)\)
8. \(x\in(1;3)\)

Как решается: главные правила

• Логарифм произведения и частного (при одном и том же основании): \[ \log_a b+\log_a c=\log_a(bc),\qquad \log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}. \]
• Определение логарифма: \(\log_a b=c\iff b=a^{c}\), причём \(b>0,\ a>0,\ a\ne 1\).
• Монотонность: при \(a>1\) функция \(\log_a x\) возрастает (знак неравенства сохраняется), при \(0<a<1\) — убывает (знак неравенства меняется на противоположный).
• ОДЗ проверяем всегда: выражение под логарифмом должно быть положительным.

Подробные шаги

1. \(\log_5 60-\log_5 12=\log_5\dfrac{60}{12}=\log_5 5=1.\)

2. \(\log_{21}3+\log_{21}7=\log_{21}(3\cdot 7)=\log_{21}21=1.\)

3. \(\log_{0{,}1}0{,}003-\log_{0{,}1}0{,}03=\log_{0{,}1}\dfrac{0{,}003}{0{,}03}=\log_{0{,}1}0{,}1=1.\)

4. \(\log_{0{,}7}(x+5)=0\Rightarrow x+5=0{,}7^{0}=1\Rightarrow x=-4.\) Проверка: \(x+5=1>0\), корень подходит.

5. \(\log_3(x^2-11x+27)=2\Rightarrow x^2-11x+27=3^2=9\), то есть \[ x^2-11x+18=0,\quad D=49,\quad x=\frac{11\pm 7}{2}. \] Получаем \(x=9\) и \(x=2\). Под логарифмом в обоих случаях \(9>0\) — оба корня годятся.

6. Это квадратное уравнение относительно логарифма. Пусть \(t=\log_6 x\): \[ t^2+2t-3=0\Rightarrow t=1 \text{ или } t=-3. \] Тогда \(\log_6 x=1\Rightarrow x=6\), а \(\log_6 x=-3\Rightarrow x=6^{-3}=\dfrac{1}{216}\). Оба числа положительны, ОДЗ выполнено.

7. \(1=\log_8 8\), основание \(8>1\), значит знак сохраняется: \[ x+4>8\Rightarrow x>4. \] ОДЗ \(x+4>0\) при этом выполняется автоматически. Ответ: \((4;+\infty)\).

8. Основание \(\dfrac{1}{2}<1\), функция убывает — знак неравенства переворачивается: \[ 3x-1>3-x\Rightarrow 4x>4\Rightarrow x>1. \] ОДЗ: \(3x-1>0\Rightarrow x>\dfrac{1}{3}\) и \(3-x>0\Rightarrow x<3\). Пересечение: \(1<x<3\), то есть \((1;3)\).

Проверка

• В №3: \(0{,}003:0{,}03=0{,}1\), и \(\log_{0{,}1}0{,}1=1\) — верно.
• В №5 подстановка: \(2^2-11\cdot2+27=9=3^2\); \(9^2-11\cdot9+27=9\) — верно.
• В №6: при \(x=\frac{1}{216}\) логарифм равен \(-3\), и \(9-6-3=0\) — верно.
• В №8 граничные точки \(x=1\) и \(x=3\) не входят: при \(x=3\) второй логарифм не существует.