174 Пусть N — натуральное число. Даны утверждения: A: «N делится на 3», B: «N делится на 9», C: «Сумма цифр числа N делится на 3»

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
174 Пусть $N$ — натуральное число. Даны утверждения:
A: «$N$ делится на 3»,
B: «$N$ делится на 9»,
C: «Сумма цифр числа $N$ делится на 3»,
D: «Сумма цифр числа $N$ делится на 9»,
E: «Число $N$ является натуральной степенью числа 2».
Составьте из этих утверждений два взаимно обратных условных утверждения:
а) так, чтобы оба были истинными высказываниями;
б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным;
в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.

175 Предположим, что $N$ — некоторое натуральное число. Найдите равносильные утверждения.
A: «Число $N$ чётное».
B: «Число $N$ равно $2k$ для некоторого натурального числа $k$».
C: «Число $N$ даёт остаток 2 при делении на 4».
D: «Число $N$ заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8».
E: «Число $N$ делится на 2, но не делится на 4».

Answer

На фото два номера — 174 и 175; решу оба.

174

Прямое и обратное утверждения имеют вид $P\Rightarrow Q$ и $Q\Rightarrow P$.

а) Оба истинны. Возьмём $A$ и $C$:

Если $N$ делится на $3$, то сумма цифр $N$ делится на $3$.

Если сумма цифр $N$ делится на $3$, то $N$ делится на $3$.

Оба верны по признаку делимости на $3$.

б) Одно истинно, обратное может быть ложным.

$$
B\Rightarrow A:
$$
«Если $N$ делится на $9$, то $N$ делится на $3$» — истинно.

Обратное:

$$
A\Rightarrow B:
$$
«Если $N$ делится на $3$, то $N$ делится на $9$» — не всегда верно: например, $N=3$ делится на $3$, но не делится на $9$.

в) Оба ложны. Возьмём $A$ и $E$:

«Если $N$ делится на $3$, то $N$ — натуральная степень числа $2$» — ложно при $N=3$.

«Если $N$ — натуральная степень числа $2$, то $N$ делится на $3$» — ложно при $N=2=2^1$.

175

Равносильные утверждения:

$$
A,\ B,\ D
$$

и

$$
C,\ E.
$$

Почему:

$A$: $N$ чётное, то есть делится на $2$.

$B$: $N=2k$ — это тоже запись чётного натурального числа.

$D$: число чётное тогда и только тогда, когда его последняя цифра — $0,2,4,6$ или $8$.

Поэтому $A$, $B$, $D$ равносильны.

Далее:

$C$: $N=4q+2=2(2q+1)$, значит, $N$ чётное, но не делится на $4$.

$E$: «делится на $2$, но не на $4$» — это в точности остаток $2$ при делении на $4$.

Значит, $C$ и $E$ тоже равносильны. Например, $N=4$ показывает, что $A$ не равносильно $C$: число чётное, но остаток при делении на $4$ равен $0$, а не $2$.