3,4,5 номера

Кратко: № 3 → \(-1\); № 4 → \(-1\); № 5 → \(9\).

Что нужно знать

1. Логарифм — это показатель степени: \(\log_a b = x\) означает \(a^x = b\).
2. Степень в основании: \(\log_{a^n} b^m = \dfrac{m}{n}\log_a b\). Отсюда частые случаи: \(\log_{a^n} a = \dfrac{1}{n}\), \(\log_a a = 1\).
3. \(\log_a 1 = 0\) при любом допустимом основании.
4. Основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\).
5. \(\lg x\) — это \(\log_{10} x\).

№ 3. \(\log_{1/3} 27 + \log_{3/2} \frac{9}{4} + \log_{2,5} 1\)

\[ \log_{1/3} 27 = \log_{3^{-1}} 3^{3} = \frac{3}{-1} = -3 \] \[ \log_{3/2} \frac{9}{4} = \log_{3/2}\left(\frac{3}{2}\right)^{2} = 2 \qquad \log_{2,5} 1 = 0 \] \[ -3 + 2 + 0 = -1 \]

№ 4. \(3\log_8 2 - \log_{1,2} 1,44 + \log_{1,2} 1\)

\[ \log_8 2 = \log_{2^3} 2 = \frac{1}{3}\ \Rightarrow\ 3\cdot\frac{1}{3} = 1 \] \[ \log_{1,2} 1,44 = \log_{1,2}(1,2)^2 = 2 \qquad \log_{1,2} 1 = 0 \] \[ 1 - 2 + 0 = -1 \]

№ 5. \(3^{\log_3 5} + \lg 0,01 + \log_2 2^6\)

\[ 3^{\log_3 5} = 5 \qquad \lg 0,01 = \log_{10} 10^{-2} = -2 \qquad \log_2 2^6 = 6 \] \[ 5 + (-2) + 6 = 9 \]

Проверка («обратным ходом»)

• \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 27\) ✔; \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}\) ✔
• \(8^{1/3} = 2\) ✔; \(1,2^{2} = 1,44\) ✔
• \(3^{\log_3 5} = 5\) — это и есть определение логарифма ✔; \(10^{-2} = 0,01\) ✔; \(2^{6} = 64\), и \(\log_2 64 = 6\) ✔

Принцип: каждое слагаемое отдельно сводим к вопросу «в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент?». Удобно заранее превратить основание и аргумент в степени одного числа — тогда ответ получается как отношение показателей. Типичная ошибка — писать \(\log_{1/3} 27 = 3\) (знак степени теряется, ведь основание меньше единицы) или \(3\log_8 2 = \log_8 6\) (множитель перед логарифмом в аргумент так не вносится).