все задания

Сразу скажу: по этому фото все номера надёжно не прочитать — в №6–10 и 14–16 основания логарифмов и отдельные знаки перекрыты исправлениями. Я не буду угадывать. Ниже — то, что читается уверенно, и принцип, по которому решаются такие примеры.

№11

\[ \log_4 0{,}5+\log_{0{,}25}2 =\log_{2^2}2^{-1}+\log_{2^{-2}}2 =-\frac12-\frac12=-1. \]

\[ \log_{0{,}1}10+\log_{0{,}125}64 =\log_{10^{-1}}10+\log_{2^{-3}}2^6 =-1-2=-3. \]

№12

\[ \log_{0{,}2}5+\log_{0{,}2}125 =\log_{5^{-1}}5+\log_{5^{-1}}5^3 =-1-3=-4. \]

\[ \log_{0{,}5}0{,}5+\log_{0{,}5}8 =1+\log_{2^{-1}}2^3 =1-3=-2. \]

№13

Если последнее слагаемое действительно с минусом: \[ \frac{\lg126-\lg3{,}5}{\lg40{,}5+\lg2}-\log_3\sqrt6 = \frac{\lg36}{\lg81}-\frac12\log_3 6. \] Далее \[ \frac{\lg36}{\lg81} =\frac{2\lg6}{4\lg3} =\frac12\log_3 6, \] поэтому весь пример равен \(0\).

№17

\[ \frac{\log_3 63}{2+\log_3 7} = \frac{\log_3(9\cdot7)}{2+\log_3 7} = \frac{2+\log_3 7}{2+\log_3 7}=1. \] Кроме того, \[ \frac{\log_8 20}{\log_8 5}+\log_5 0{,}05 = \log_5 20+\log_5 0{,}05 = \log_5 1=0. \] Значит, \[ 1+0=1. \]

Что здесь главное

Используются свойства: \[ \log_{a^n}x^m=\frac mn\log_a x, \qquad \log_a a=1, \qquad \frac{\log_c b}{\log_c a}=\log_a b. \] Например, \(\log_{0{,}25}2=\log_{2^{-2}}2=-\frac12\), а \(\log_4 0{,}5=\log_{2^2}2^{-1}=-\frac12\).

Чтобы разобрать остальные номера, пришли, пожалуйста, №6–10 и №14–16 отдельными крупными фото — по 2–3 номера на кадр.