354. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

Распределительное свойство умножения: \[ (a-b)c=ac-bc,\qquad (a+b)c=ac+bc. \]

1)

\[ 18\left(\frac13-\frac19\right) =18\cdot\frac13-18\cdot\frac19 =\frac{18}{3}-\frac{18}{9} =6-2=4. \]

2)

\[ \left(2-\frac34-\frac45\right)\cdot20 =2\cdot20-\frac34\cdot20-\frac45\cdot20 =40-15-16=9. \]

3)

\[ \left(1-\frac13-\frac16-\frac19\right)\cdot18 =18-\frac{18}{3}-\frac{18}{6}-\frac{18}{9} =18-6-3-2=7. \]

4)

\[ \left(\frac56+\frac59\right)\cdot\frac{18}{25} =\frac56\cdot\frac{18}{25}+\frac59\cdot\frac{18}{25} =\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1. \]

Здесь: \[ \frac56\cdot\frac{18}{25}=\frac{18}{6}\cdot\frac{5}{25}=\frac35, \qquad \frac59\cdot\frac{18}{25}=\frac{18}{9}\cdot\frac{5}{25}=\frac25. \]

Ответ: 1) \(4\); 2) \(9\); 3) \(7\); 4) \(1\).

В пункте 3: \[ \left(1-\frac13-\frac16-\frac19\right)\cdot 18. \]

Используем распределительное свойство умножения: \[ (a-b-c-d)\cdot m=am-bm-cm-dm. \] То есть умножаем на \(18\) каждое слагаемое в скобках:

\[ 1\cdot18-\frac13\cdot18-\frac16\cdot18-\frac19\cdot18. \]

Считаем каждое произведение:

\[ 1\cdot18=18, \] \[ \frac13\cdot18=\frac{18}{3}=6, \] \[ \frac16\cdot18=\frac{18}{6}=3, \] \[ \frac19\cdot18=\frac{18}{9}=2. \]

Подставляем:

\[ 18-6-3-2. \]

Вычитаем по порядку:

\[ 18-6=12, \] \[ 12-3=9, \] \[ 9-2=7. \]

Значит, \[ \left(1-\frac13-\frac16-\frac19\right)\cdot18=7. \]

Ответ: \(7\).

Можно проверить и другим способом: привести дроби в скобках к знаменателю \(18\): \[ \frac{18}{18}-\frac{6}{18}-\frac{3}{18}-\frac{2}{18}=\frac{7}{18}, \] а затем \[ \frac{7}{18}\cdot18=7. \]

№356. Выносим общий множитель:

1. \(\left(4\frac49+3\frac59\right)\cdot\frac58=8\cdot\frac58=5\)

2. \(\left(3\frac78-1\frac58\right)\cdot\frac45=2\frac14\cdot\frac45=\frac94\cdot\frac45=\frac95=1\frac45\)

3. \(\left(2\frac{11}{15}-\frac3{10}-1\frac16\right)\cdot1\frac1{19}=\frac{19}{15}\cdot\frac{20}{19}=\frac43=1\frac13\)

4. \(\left(4\frac79-3\frac7{12}+1\frac{13}{18}\right)\cdot1\frac{13}{14}=\frac{35}{12}\cdot\frac{27}{14}=\frac{45}{8}=5\frac58\)

Ответ: 1) \(5\); 2) \(1\frac45\); 3) \(1\frac13\); 4) \(5\frac58\).

В №356(1) дано: \[ 4\frac49\cdot\frac58+\frac58\cdot3\frac59. \]

Оба слагаемых содержат общий множитель \(\frac58\), поэтому выносим его за скобки: \[ 4\frac49\cdot\frac58+\frac58\cdot3\frac59 =\frac58\left(4\frac49+3\frac59\right). \]

Теперь складываем числа в скобках. Целые части и дробные части можно сложить отдельно: \[ 4\frac49+3\frac59=(4+3)+\left(\frac49+\frac59\right)=7+1=8. \] Дроби \(\frac49\) и \(\frac59\) в сумме дают \(1\), поэтому получается ровно \(8\).

Подставляем: \[ \frac58\cdot 8=\frac{5\cdot8}{8}=5. \]

Ответ: \(5\).

Проверка без вынесения множителя: \[ 4\frac49\cdot\frac58=\frac{40}{9}\cdot\frac58=\frac{25}{9}, \qquad \frac58\cdot3\frac59=\frac58\cdot\frac{32}{9}=\frac{20}{9}, \] \[ \frac{25}{9}+\frac{20}{9}=\frac{45}{9}=5. \]

Идея «удобного способа»: заметить одинаковый множитель \(\frac58\) и сначала сложить числа в скобках — так счёт намного проще.

Пункт 3 из задания 356 выглядит так (по фото): \[ 2\frac{11}{15}\cdot1\frac{1}{19}-1\frac{1}{19}\cdot\frac{3}{10}-1\frac{1}{6}\cdot1\frac{1}{19}. \]

Шаг 1. Находим общий множитель

В каждом из трёх произведений есть множитель \(1\frac{1}{19}\): \[ 2\frac{11}{15}\cdot1\frac{1}{19}-\frac{3}{10}\cdot1\frac{1}{19}-1\frac{1}{6}\cdot1\frac{1}{19}. \]

Выносим его за скобки: \[ =1\frac{1}{19}\left(2\frac{11}{15}-\frac{3}{10}-1\frac{1}{6}\right). \]

Шаг 2. Считаем выражение в скобках

Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \[ 2\frac{11}{15}=\frac{2\cdot15+11}{15}=\frac{41}{15}, \qquad 1\frac{1}{6}=\frac{6+1}{6}=\frac76. \]

Приводим к общему знаменателю. Для \(15\), \(10\) и \(6\) он равен \(30\): \[ \frac{41}{15}=\frac{82}{30}, \qquad \frac{3}{10}=\frac{9}{30}, \qquad \frac76=\frac{35}{30}. \]

Подставляем: \[ \frac{82}{30}-\frac{9}{30}-\frac{35}{30} =\frac{82-9-35}{30} =\frac{38}{30} =\frac{19}{15}. \]

Шаг 3. Умножаем на вынесенный множитель

\[ 1\frac{1}{19}=\frac{20}{19}. \] Тогда \[ \frac{20}{19}\cdot\frac{19}{15} =\frac{20\cdot19}{19\cdot15} =\frac{20}{15} =\frac43 =1\frac13. \]

Ответ: \(1\frac13\).

Главная идея «удобного способа»: не перемножать всё подряд, а заметить одинаковый множитель \(1\frac{1}{19}\) и сначала сложить (вычесть) числа в скобках — так счёт гораздо проще.

Пункт 4:

\[ 4\frac79\cdot1\frac{13}{14} -3\frac7{12}\cdot1\frac{13}{14} +1\frac{13}{18}\cdot1\frac{13}{14}. \]

1. Выносим общий множитель

Во всех трёх произведениях есть одинаковый множитель \(1\frac{13}{14}\), поэтому:

\[ =1\frac{13}{14}\left( 4\frac79-3\frac7{12}+1\frac{13}{18} \right). \]

2. Переводим смешанные числа в неправильные дроби

\[ 4\frac79=\frac{4\cdot9+7}{9}=\frac{43}{9}, \]

\[ 3\frac7{12}=\frac{3\cdot12+7}{12}=\frac{43}{12}, \]

\[ 1\frac{13}{18}=\frac{18+13}{18}=\frac{31}{18}. \]

Тогда в скобках:

\[ \frac{43}{9}-\frac{43}{12}+\frac{31}{18}. \]

3. Приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель для \(9\), \(12\) и \(18\) равен \(36\):

\[ \frac{43}{9}=\frac{172}{36}, \qquad \frac{43}{12}=\frac{129}{36}, \qquad \frac{31}{18}=\frac{62}{36}. \]

Получаем:

\[ \frac{172-129+62}{36} =\frac{105}{36} =\frac{35}{12}. \]

4. Умножаем на вынесенный множитель

\[ 1\frac{13}{14}=\frac{27}{14}. \]

Значит:

\[ \frac{35}{12}\cdot\frac{27}{14}. \]

Сокращаем:

\[ 35 \text{ и } 14 \text{ на } 7, \qquad 27 \text{ и } 12 \text{ на } 3. \]

Получаем:

\[ \frac{5}{4}\cdot\frac{9}{2} =\frac{45}{8} =5\frac58. \]

Ответ: \[ 5\frac58. \]

То есть удобный способ — сначала вынести одинаковый множитель \(1\frac{13}{14}\), а потом считать только выражение в скобках.

№358

\[ 1)\ \frac{5}{8}a\cdot\frac{4}{15}b =\frac{5\cdot4}{8\cdot15}ab =\frac{1}{6}ab. \]

\[ 2)\ 6\frac34x\cdot1\frac{11}{45}y =\frac{27}{4}\cdot\frac{56}{45}xy =\frac{42}{5}xy =8\frac25xy. \]

\[ 3)\ \frac{13}{24}d\cdot32c =\frac{13\cdot32}{24}cd =\frac{52}{3}cd =17\frac13cd. \]

\[ 4)\ 18\frac13a\cdot1\frac2{11}b\cdot\frac9{13}c =\frac{55}{3}\cdot\frac{13}{11}\cdot\frac9{13}abc =15abc. \]

Ответ:

1. \(\frac16ab\);
2. \(8\frac25xy\);
3. \(17\frac13cd\);
4. \(15abc\).

Пункт 2 из №358:

\[ 6\frac34 x\cdot1\frac{11}{45}y. \]

1. Отделяем числа и буквы

Так как умножение можно переставлять и группировать, сначала перемножим числовые множители, а буквы \(x\) и \(y\) оставим рядом:

\[ 6\frac34 x\cdot1\frac{11}{45}y = \left(6\frac34\cdot1\frac{11}{45}\right)xy. \]

2. Переводим смешанные числа в неправильные дроби

\[ 6\frac34=\frac{6\cdot4+3}{4}=\frac{27}{4}, \]

\[ 1\frac{11}{45}=\frac{1\cdot45+11}{45}=\frac{56}{45}. \]

Значит:

\[ 6\frac34\cdot1\frac{11}{45} = \frac{27}{4}\cdot\frac{56}{45}. \]

3. Умножаем и сокращаем

\[ \frac{27}{4}\cdot\frac{56}{45} = \frac{27\cdot56}{4\cdot45}. \]

Сокращаем:

• \(56\) и \(4\) на \(4\): остаётся \(14\) и \(1\);
• \(27\) и \(45\) на \(9\): остаётся \(3\) и \(5\).

Получаем:

\[ \frac{3\cdot14}{1\cdot5} = \frac{42}{5} = 8\frac25. \]

4. Записываем ответ

\[ 6\frac34 x\cdot1\frac{11}{45}y = 8\frac25xy. \]

Ответ: \(8\frac25xy\).

№361

1. \[ \frac12a+\frac13a-\frac14a =\left(\frac{12}{12?}\right)a \] точнее: \[ \frac12+\frac13-\frac14=\frac{6+4-3}{12}=\frac7{12}. \] Тогда \[ \frac7{12}a=\frac7{12}\cdot1\frac57 =\frac7{12}\cdot\frac{12}{7}=1. \]

2. \[ \frac47b+\frac5{21}b-\frac23b =\left(\frac{12+5-14}{21}\right)b =\frac17b. \] При \(b=2\frac13=\frac73\): \[ \frac17\cdot\frac73=\frac13. \]

3. \[ 1\frac5{12}m+2\frac7{18}m-1\frac29m =\left(1\frac5{12}+2\frac7{18}-1\frac29\right)m =\frac{31}{12}m. \] При \(m=1\frac{17}{31}=\frac{48}{31}\): \[ \frac{31}{12}\cdot\frac{48}{31}=4. \]

Ответ: 1) \(1\); 2) \(\frac13\); 3) \(4\).