Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (через теорему Виета).

Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\):

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3. Значит:

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка

Подставляю корни в исходное уравнение:

• \(x=2:\; 4-10+6=0\) ✓
• \(x=3:\; 9-15+6=0\) ✓

Оба корня подходят.

Принцип для похожих заданий: сначала пробуй подобрать корни по Виету (быстро, если корни целые), а если не подбираются — считай дискриминант: при \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) действительных корней нет.