Самостоятельная работа №1. Определение квадратного корня. Вариант 1 Найдите значение арифметического квадратного корня:

Краткий ответ

1. Значения корней: \(4;\ 10;\ 3;\ 12;\ 0{,}8;\ 50;\ \frac{1}{3};\ \frac{7}{3}=2\frac{1}{3};\ \frac{7}{4}=1\frac{3}{4};\ \frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\).

2. Вычислите:

1. \(4-5=-1\); \(5\cdot2=10\); \(7:20=0{,}35\).
2. \(35-46=-11\); \(\frac{1}{17}+1{,}5=\frac{53}{34}=1\frac{19}{34}\); \(\frac{1}{11}-\frac{7}{11}=-\frac{6}{11}\).

3. При \(m=-9;\ 4;\ -20;\ 19;\ -41\) значения равны \(6;\ 7;\ 5;\ 8;\ 2\).

Как это получается

Задание 1. Смысл арифметического корня

Арифметический квадратный корень \(\sqrt{a}\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Значит, для каждого числа ищем «кто в квадрате даёт подкоренное».

Дроби со смешанными числами — главный приём: перевести в неправильную дробь, потом извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя: \[\sqrt{5\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3},\qquad \sqrt{3\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4},\qquad \sqrt{1\frac{7}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.\] Заметь: \(5\frac{4}{9}\neq 5\cdot\frac{4}{9}\) — смешанное число это сумма \(5+\frac{4}{9}\).

Задание 2. Действия с уже найденными корнями

1) Считаем каждый корень, затем выполняем действие: \[\sqrt{16}-\sqrt{25}=4-5=-1;\] \[\sqrt{25}\cdot\sqrt{4}=5\cdot2=10;\] \[\sqrt{49}:\sqrt{400}=7:20=0{,}35.\] Знак «\(:\)» — обычное деление, поэтому ответ удобно дать десятичной дробью.

2) Здесь подкоренные числа большие, помогает таблица квадратов: \[1225=35^2,\quad 2116=46^2 \Rightarrow \sqrt{1225}-\sqrt{2116}=35-46=-11.\] \[289=17^2,\quad 2{,}25=1{,}5^2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{289}}+\sqrt{2{,}25}=\frac{1}{17}+\frac{3}{2}=\frac{2}{34}+\frac{51}{34}=\frac{53}{34}=1\frac{19}{34}.\] \[1089=33^2,\quad \frac{49}{121}=\left(\frac{7}{11}\right)^2 \Rightarrow \frac{3}{\sqrt{1089}}-\sqrt{\frac{49}{121}}=\frac{3}{33}-\frac{7}{11}=\frac{1}{11}-\frac{7}{11}=-\frac{6}{11}.\] Обрати внимание: \(\frac{3}{\sqrt{1089}}\) — это дробь «3 делить на корень», а не корень из дроби; и корень из \(121\) в знаменателе не извлекается отдельно от числителя \(49\).

Задание 3. Выражение с переменной

\[ \sqrt{45+m} \] Подставляем каждое \(m\) и смотрим, получился ли полный квадрат:

• \(m=-9:\ \sqrt{45-9}=\sqrt{36}=6\);
• \(m=4:\ \sqrt{49}=7\);
• \(m=-20:\ \sqrt{25}=5\);
• \(m=19:\ \sqrt{64}=8\);
• \(m=-41:\ \sqrt{4}=2\).

Проверка: \(6^2=36=45-9\), \(7^2=49=45+4\), \(5^2=25=45-20\), \(8^2=64=45+19\), \(2^2=4=45-41\) — всё сходится.

Важное правило для похожих заданий: выражение \(\sqrt{45+m}\) существует только при \(45+m\ge 0\), то есть при \(m\ge -45\). Если бы дали \(m=-50\), ответ был бы «выражение не имеет смысла», а не отрицательное число.

Что запомнить, чтобы решить аналог

1. Ищи неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному (таблица квадратов от 1 до 50 очень помогает).
2. Смешанное число → неправильная дробь → корень из числителя и знаменателя.
3. Десятичную дробь удобно писать через обыкновенную: \(0{,}64=\frac{64}{100}\).
4. Сначала извлекаем каждый корень, потом выполняем действия; корень никогда не бывает отрицательным.