2.302 Найдите произведение: а) 14/17 · 34/63; б) 35/8 · 16/7; в) 51/103 · 103/119

Краткие ответы: а) \(\frac{4}{9}\); б) \(10\); в) \(\frac{3}{7}\); г) \(\frac{1}{7}\); д) \(5\frac{1}{2}\); е) \(23\); ж) \(23\frac{1}{2}\); з) \(687\).

Главный принцип

При умножении дробей перемножаются числители и знаменатели: \[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}. \] Общий знаменатель находить не нужно. До умножения удобно сокращать множители — числитель одной дроби со знаменателем другой.

Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь: \[ a\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}. \]

Разбор по пунктам

а) Сокращаем \(14\) и \(63\) на \(7\), а \(34\) и \(17\) — на \(17\): \[ \frac{14}{17}\cdot\frac{34}{63} =\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{9} =\frac{4}{9}. \]

б) Сокращаем \(35\) и \(7\) на \(7\), \(16\) и \(8\) на \(8\): \[ \frac{35}{8}\cdot\frac{16}{7} =\frac{5}{1}\cdot\frac{2}{1}=10. \]

в) Множители \(103\) сокращаются; затем \(51\) и \(119\) сокращаем на \(17\): \[ \frac{51}{103}\cdot\frac{103}{119} =\frac{51}{119} =\frac{3}{7}. \]

г) Перегруппируем и сократим: \[ \frac{4}{15}\cdot\frac{30}{49}\cdot\frac{7}{8} =\frac{4}{8}\cdot\frac{30}{15}\cdot\frac{7}{49} =\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{1}{7} =\frac{1}{7}. \]

д) Целое число записываем как дробь: \[ 24\cdot\frac{11}{48} =\frac{24}{48}\cdot11 =\frac{1}{2}\cdot11 =\frac{11}{2} =5\frac{1}{2}. \]

е) Переводим смешанное число в неправильную дробь: \[ 6\cdot3\frac{5}{6} =6\cdot\frac{23}{6} =23. \]

ж) \[ 3\frac{5}{14}\cdot7 =\frac{47}{14}\cdot7 =\frac{47}{2} =23\frac{1}{2}. \]

з) \[ 5\frac{4}{45}\cdot9\cdot15 =\frac{229}{45}\cdot135 =229\cdot3 =687. \]

Проверка

Например, для пункта з: \[ 687:(9\cdot15)=687:135=5\frac{4}{45}. \] Получили исходное смешанное число, значит, произведение найдено верно.