PT — касательная, PA = 5 см, PB = 20 см. Найдите PT.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
[обрезано] касательная PT и секущая PAB, где A — ближняя, B — дальняя точка пересечения с окружностью, то \(PT^{2}=PA\cdot PB\), а \(PB\) — вся секущая. [Рисунок: из точки \(P\) проведены касательная к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\); \(A\) ближе к \(P\), \(B\) дальше.]
- \(PT\) — касательная, \(PA=5\) см, \(PB=20\) см. Найдите \(PT\). Рукописно: \(PT^{2}=PA\cdot PB\); \(PT^{2}=5\cdot20=100\); \(PT=\sqrt{100}=10\); ответ: \(PT=10\) см.
- \(PT=12\) см, \(PA=9\) см. Найдите \(PB\) и \(AB\).
- \(PT=15\) см, \(PB=25\) см. Найдите \(PA\) и \(AB\).
- Из \(P\) проведены две касательные \(PA\) и \(PB\). \(PA=4x-3\), \(PB=2x+7\). Найдите \(x\) и длину касательных.
- Для касательной \(PT\) и секущей \(PAB\) даны \(PA=7\) см, \(AB=18\) см. Найдите \(PT\).
Кратко по всем пунктам листа:
- \(PT=10\) см — на фото уже решено верно.
- \(PB=16\) см, \(AB=7\) см.
- \(PA=9\) см, \(AB=16\) см.
- \(x=5\), \(PA=PB=17\).
- \(PT=5\sqrt{7}\) см \(\approx 13{,}23\) см.
Главный принцип
Для касательной \(PT\) и секущей \(PAB\) из одной точки \(P\):
\[ PT^{2}=PA\cdot PB \]
Здесь \(A\) — ближняя точка пересечения с окружностью, \(B\) — дальняя, а \(PB\) — вся секущая, а не хорда \(AB\). Поэтому:
\[ PB=PA+AB,\qquad AB=PB-PA. \]
Формула следует из подобия треугольников, но для решения достаточно применять её напрямую.
По шагам
№2:
\[ 12^{2}=9\cdot PB \Rightarrow PB=16 \] \[ AB=16-9=7 \]№3:
\[ 15^{2}=PA\cdot25 \Rightarrow PA=9 \] \[ AB=25-9=16 \]№4: две касательные из одной точки равны, значит: \[ 4x-3=2x+7 \Rightarrow x=5 \] \[ PA=PB=4\cdot5-3=17 \] Здесь \(A\) и \(B\) — точки касания, поэтому формула с секущей не используется.
№5: сначала находим всю секущую: \[ PB=PA+AB=7+18=25 \] \[ PT^{2}=7\cdot25=175 \] \[ PT=\sqrt{175}=5\sqrt{7} \]
Проверка:
\(10^{2}=5\cdot20\), \(12^{2}=9\cdot16\), \(15^{2}=9\cdot25\), \(17=17\), \((5\sqrt{7})^{2}=7\cdot25\). Всё сходится.
