реши как решают в школе с чертежом

Question

Расшифровка фото нейросетью:
I вариант

1. Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведённая к ней, 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

2. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведённая к ней, в 2 раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

3. Стороны параллелограмма равны 6 и 8 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

4. Стороны ромба равны 6 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь ромба.

5. Диагонали ромба относятся как 2 : 3, а их сумма равна 25 см. Найдите площадь ромба.
II вариант

6. В равнобедренном треугольнике ABC высота AH в 4 раза меньше основания BC, равного 16 см. Найдите площадь ΔABC.

7. В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 см². Найдите стороны параллелограмма.

8. Стороны параллелограмма равны 4 и 7 см, а угол между ними равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.

9. Стороны ромба равны 5 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь ромба.

10. Диагонали ромба относятся как 3 : 5, а их сумма равна 8 см. Найдите площадь ромба.

Answer

Кратко (площади — в см²):

I вариант: 1) 315; 2) 25; 3) 24; 4) 18; 5) 75.

II вариант: 1) 32; 2) 6 см и 12 см; 3) 14; 4) 12,5; 5) 7,5.

Что рисуем и какие формулы используем:

параллелограмм: основание $a$, высота $h$ к нему, $S=ah$;

треугольник: основание $a$, высота $h$, $S=\frac12ah$;

параллелограмм со сторонами $a,b$ и углом $\alpha$: $S=ab\sin\alpha$;

ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$ между соседними сторонами: $S=a^2\sin\alpha$;

ромб с диагоналями $d_1,d_2$: $S=\frac12d_1d_2$.

I вариант

1. Чертёж: параллелограмм, к стороне $21$ см проведена высота $15$ см.
$$
S=21\cdot15=315
$$

2. Высота в 2 раза больше стороны $5$ см, то есть $h=10$ см.
$$
S=\frac12\cdot5\cdot10=25
$$

3. Стороны $6$ и $8$ см, угол $30^\circ$.
$$
S=6\cdot8\cdot\sin30^\circ=48\cdot\frac12=24
$$

4. Ромб: сторона $6$ см, угол между соседними сторонами $30^\circ$.
$$
S=6\cdot6\cdot\sin30^\circ=36\cdot\frac12=18
$$

5. Пусть диагонали $d_1=2x$, $d_2=3x$. Их сумма $25$ см:
$$
5x=25,\quad x=5
$$
Значит, $d_1=10$, $d_2=15$.
$$
S=\frac12\cdot10\cdot15=75
$$

II вариант

1. Основание $BC=16$ см, высота в 4 раза меньше:
$$
AH=\frac{16}{4}=4
$$
$$
S=\frac12\cdot16\cdot4=32
$$

2. Площадь параллелограмма $S=60$, высоты $10$ и $5$ см.
$$
a=\frac{60}{10}=6,\qquad b=\frac{60}{5}=12
$$
Стороны: 6 см и 12 см.

3. Стороны $4$ и $7$ см, угол $150^\circ$.
$$
S=4\cdot7\cdot\sin150^\circ=28\cdot\frac12=14
$$

4. Ромб: сторона $5$ см, угол $30^\circ$.
$$
S=5\cdot5\cdot\sin30^\circ=25\cdot\frac12=12{,}5
$$

5. Пусть диагонали $3x$ и $5x$. Их сумма $8$ см:
$$
3x+5x=8,\quad 8x=8,\quad x=1
$$
Значит, диагонали равны $3$ и $5$ см.
$$
S=\frac12\cdot3\cdot5=7{,}5
$$

В задачах на ромб через диагонали важно помнить: площадь равна половине произведения диагоналей.