22. Решите неравенство: (5−x)(x²−25)≥0.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите неравенство: \((5-x)(x^2-25)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((6-x)(x^2-36)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((3-x)(x^2-9)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((8-x)(x^2-64)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((9-x)(x^2-81)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((4-x)(x^2+x-20)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((3-x)(x^2+2x-15)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((5-x)(x^2+x-30)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((2-x)(x^2+2x-8)\ge 0\).
- Решите неравенство: \((3-x)(x^2+4x-21)\ge 0\). Ниже рукописно: \((3-x)(x^2+2x-15)\ge 0\); \(3-x=0\), \(x=3\); \(x^2+2x-15=0\), \(D=4+60=64\), \(x=\frac{-2\pm 8}{2}\), \(x=-5\), \(x=3\).
Ответы для №22–31 (на фото серия однотипных неравенств):
| № | После разложения | Ответ |
|---|---|---|
| 22 | \(-(x-5)^2(x+5)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-5]\cup\{5\}\) |
| 23 | \(-(x-6)^2(x+6)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-6]\cup\{6\}\) |
| 24 | \(-(x-3)^2(x+3)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-3]\cup\{3\}\) |
| 25 | \(-(x-8)^2(x+8)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-8]\cup\{8\}\) |
| 26 | \(-(x-9)^2(x+9)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-9]\cup\{9\}\) |
| 27 | \(-(x-4)^2(x+5)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-5]\cup\{4\}\) |
| 28 | \(-(x-3)^2(x+5)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-5]\cup\{3\}\) |
| 29 | \(-(x-5)^2(x+6)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-6]\cup\{5\}\) |
| 30 | \(-(x-2)^2(x+4)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-4]\cup\{2\}\) |
| 31 | \(-(x-3)^2(x+7)\ge0\) | \(x\in(-\infty;-7]\cup\{3\}\) |
Как рассуждать — на примере №28.
\[ (3-x)(x^2+2x-15)\ge0 \]
\[ x^2+2x-15=(x+5)(x-3) \]
\[ (3-x)(x+5)(x-3)=-(x-3)^2(x+5)\ge0 \]
Квадрат \((x-3)^2\) всегда неотрицателен. Поэтому знак выражения в основном определяется множителем \(-(x+5)\):
- при \(x<-5\) выражение положительно;
- между \(-5\) и \(3\) — отрицательно;
- при \(x>3\) — тоже отрицательно;
- в точках \(-5\) и \(3\) выражение равно нулю, а нули входят, так как неравенство нестрогое.
Получаем:
\[ x\le -5 \quad \text{или} \quad x=3. \]
То есть
\[ x\in(-\infty;-5]\cup\{3\}. \]
Важно: \(x=3\) — «двойной» корень, поэтому знак около него не меняется, но саму точку \(3\) обязательно включаем в ответ.
Проверка для №28: при \(x=0\) выражение отрицательно, при \(x=-6\) положительно, при \(x=4\) отрицательно, а при \(x=3\) равно нулю. Всё согласуется с ответом. Вычисления на фото для №28 тоже приводят к верным корням \(-5\) и \(3\).
