11.7. Решите уравнение: 1) √(10 − 3x) = −x; 2) x = √(x + 5) + 1; 3) √(2x² + 5x + 4) = 2x + 2
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
11.7. Решите уравнение:
- \(\sqrt{10-3x}=-x\);
- \(x=\sqrt{x+5}+1\);
- \(\sqrt{2x^{2}+5x+4}=2x+2\);
- \(3\sqrt{x+10}-11=2x\);
- \(x-\sqrt{3x^{2}-11x-20}=5\).
11.8. Решите уравнение:
- \(\sqrt{(2x+3)(x-4)}=x-4\);
- \(\sqrt{(x-2)(2x-5)}+2=x\);
- \((x+2)\sqrt{x^{2}-x-20}=6x+12\);
- \((x+1)\sqrt{x^{2}-5x+5}=x+1\).
11.9. Решите уравнение:
- \(\sqrt{(3x-1)(4x+3)}=3x-1\);
- \((x-1)\sqrt{x^{2}-3x-3}=5x-5\).
На фото не отмечен один номер, поэтому ниже разобраны все уравнения с листа.
Краткий ответ \[ \begin{aligned} 11.7:\;&1)\,-5;\ 2)\,4;\ 3)\,0;\ 4)\,-1;\ 5)\,5;\\ 11.8:\;&1)\,4;\ 2)\,\{2;3\};\ 3)\,\{-7;8\};\ 4)\,\{-1;1;4\};\\ 11.9:\;&1)\,\frac{1}{3};\ 2)\,\{-4;7\}. \end{aligned} \]
Как рассуждать
Главное правило: корень \(\sqrt{A}\) не может быть равен отрицательному числу. Поэтому после уединения корня требуем, чтобы правая часть была неотрицательной. Затем возводим обе части в квадрат и проверяем найденные значения — при возведении в квадрат могут появиться лишние корни.
11.7
1) \[ \sqrt{10-3x}=-x,\qquad -x\ge0. \] Значит, \(x\le0\). После возведения в квадрат: \[ 10-3x=x^2\Rightarrow x^2+3x-10=0\Rightarrow x=-5,\ 2. \] Условию \(x\le0\) удовлетворяет только \(-5\).
2) \[ \sqrt{x+5}=x-1,\qquad x\ge1. \] \[ x+5=(x-1)^2\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow x=-1,\ 4. \] Подходит только \(4\).
3) \[ 2x+2\ge0\Rightarrow x\ge-1. \] \[ 2x^2+5x+4=(2x+2)^2\Rightarrow 2x^2+3x=0. \] Корни: \(0\) и \(-\frac32\). Условию \(x\ge-1\) удовлетворяет только \(0\).
4) \[ 3\sqrt{x+10}=2x+11,\qquad 2x+11\ge0. \] \[ 9(x+10)=(2x+11)^2\Rightarrow 4x^2+35x+31=0. \] Корни: \[ x=-1,\qquad x=-\frac{31}{4}. \] Второй корень не подходит, так как при нём \(2x+11<0\). Ответ: \(-1\).
5) \[ \sqrt{3x^2-11x-20}=x-5,\qquad x\ge5. \] \[ 3x^2-11x-20=(x-5)^2\Rightarrow 2x^2-x-45=0. \] Корни: \(5\) и \(-\frac92\). Подходит только \(5\).
11.8
1) \[ x-4\ge0. \] \[ (2x+3)(x-4)=(x-4)^2\Rightarrow (x-4)(x+7)=0. \] Корень \(4\) подходит, а \(-7\) — нет, поскольку тогда правая часть \(x-4\) отрицательна.
2) \[ \sqrt{(x-2)(2x-5)}=x-2,\qquad x\ge2. \] \[ (x-2)(2x-5)=(x-2)^2\Rightarrow (x-2)(x-3)=0. \] Оба корня \(2\) и \(3\) подходят.
3) Сначала область определения: \[ x^2-x-20=(x-5)(x+4)\ge0, \] то есть \(x\le-4\) или \(x\ge5\). При \(x=-2\) подкоренное выражение отрицательно, поэтому на области определения \(x+2\ne0\). Делим: \[ \sqrt{x^2-x-20}=6. \] \[ x^2-x-20=36\Rightarrow x^2-x-56=0\Rightarrow x=-7,\ 8. \] Оба корня подходят.
4) \[ (x+1)\left(\sqrt{x^2-5x+5}-1\right)=0. \] Первое решение: \[ x=-1, \] подкоренное выражение при этом равно \(11\), поэтому корень подходит.
Второе: \[ \sqrt{x^2-5x+5}=1. \] \[ x^2-5x+5=1\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1,\ 4. \] Все три значения \(-1,1,4\) подходят.
11.9
1) \[ 3x-1\ge0. \] \[ (3x-1)(4x+3)=(3x-1)^2. \] \[ (3x-1)(x+4)=0. \] Корни: \(\frac13\) и \(-4\). Условию \(3x-1\ge0\) удовлетворяет только \(\frac13\).
2) Область определения: \[ x^2-3x-3\ge0. \] При \(x=1\) подкоренное выражение равно \(-5\), поэтому \(x=1\) не входит в область определения и на \(x-1\) можно делить: \[ \sqrt{x^2-3x-3}=5. \] \[ x^2-3x-3=25\Rightarrow x^2-3x-28=0. \] \[ x=-4,\ 7. \] Оба корня подходят.
Проверка. Подстановка всех полученных значений в исходные уравнения даёт верные равенства. Лишние корни отброшены из-за отрицательной правой части или недопустимого подкоренного выражения.
Обсуждение
6 сообщенийРасписать подробнее цифру 5 в задание 11.7
Разберём 11.7, № 5 подробно.
\[ x-\sqrt{3x^2-11x-20}=5. \]
1. Уединим корень
Перенесём \(x\) вправо:
\[ -\sqrt{3x^2-11x-20}=5-x. \]
Умножим на \(-1\):
\[ \sqrt{3x^2-11x-20}=x-5. \]
Так как корень не может быть отрицательным, обязательно
\[ x-5\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 5. \]
Это важное условие: позже оно позволит отбросить лишний корень.
2. Проверим подкоренное выражение
Разложим его на множители:
\[ 3x^2-11x-20=(3x+4)(x-5). \]
При \(x\ge 5\) оба множителя неотрицательны, поэтому под корнем стоит неотрицательное число. Значит, достаточно условия \(x\ge 5\).
3. Возведём обе части в квадрат
\[ 3x^2-11x-20=(x-5)^2. \]
Раскроем квадрат:
\[ 3x^2-11x-20=x^2-10x+25. \]
Перенесём всё влево:
\[ 2x^2-x-45=0. \]
4. Решим квадратное уравнение
\[ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-45)=1+360=361=19^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{1\pm 19}{4}. \]
Получаем:
\[ x_1=\frac{20}{4}=5, \qquad x_2=\frac{-18}{4}=-\frac{9}{2}. \]
5. Учтём условие \(x\ge 5\)
Корень \(x=-\frac92\) не подходит, потому что тогда \(x-5<0\), а корень не может равняться отрицательному числу.
Остаётся:
\[ x=5. \]
Проверка:
\[ 5-\sqrt{3\cdot 25-11\cdot 5-20} =5-\sqrt{0}=5. \]
Верно.
Ответ: \(x=5\).
Расписать подробнее цифру 1 в номере 11.8
Разберём 11.8, № 1 максимально подробно.
\[ \sqrt{(2x+3)(x-4)}=x-4. \]
1. Область определения и условие на правую часть
Под корнем должно стоять неотрицательное число:
\[ (2x+3)(x-4)\ge 0. \]
Нули множителей: \(x=-\frac32\) и \(x=4\). Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:
\[ x\le -\frac32 \quad\text{или}\quad x\ge 4. \]
Кроме того, корень не может быть отрицательным, значит и правая часть неотрицательна:
\[ x-4\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 4. \]
При \(x\ge 4\) оба множителя \(2x+3\) и \(x-4\) неотрицательны, поэтому подкоренное выражение автоматически неотрицательно. Итоговое условие:
\[ x\ge 4. \]
2. Возводим обе части в квадрат
\[ (2x+3)(x-4)=(x-4)^2. \]
Раскроем левую часть:
\[ 2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12. \]
Правая часть:
\[ (x-4)^2=x^2-8x+16. \]
Получаем:
\[ 2x^2-5x-12=x^2-8x+16. \]
Переносим всё влево:
\[ x^2+3x-28=0. \]
3. Решаем квадратное уравнение
\[ D=3^2-4\cdot 1\cdot(-28)=9+112=121=11^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{2}. \]
\[ x_1=\frac{8}{2}=4, \qquad x_2=\frac{-14}{2}=-7. \]
Можно было решить и через разложение на множители:
\[ (x-4)(2x+3)-(x-4)^2=0, \]
\[ (x-4)\bigl((2x+3)-(x-4)\bigr)=0, \]
\[ (x-4)(x+7)=0. \]
Отсюда те же корни: \(4\) и \(-7\).
4. Отбрасываем лишний корень
У нас есть условие \(x\ge 4\):
- \(x=4\) подходит;
- \(x=-7\) не подходит, так как \(-7<4\).
При \(x=-7\) правая часть равна \(-11\), а корень не может быть отрицательным.
5. Проверка
При \(x=4\):
\[ \sqrt{(2\cdot4+3)(4-4)}=\sqrt{11\cdot0}=0, \]
\[ x-4=4-4=0. \]
Равенство верное.
Ответ: \(x=4\).
Важно: при решении нельзя просто сократить обе части на \(x-4\) — тогда потерялся бы корень \(x=4\).
Расписать цифру 2 номера 11.8
Разберём 11.8, № 2 подробно.
\[ \sqrt{(x-2)(2x-5)}+2=x. \]
1. Уединяем корень
Перенесём \(2\) вправо:
\[ \sqrt{(x-2)(2x-5)}=x-2. \]
Так как корень не может быть отрицательным, должно выполняться условие:
\[ x-2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 2. \]
Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ (x-2)(2x-5)\ge 0. \]
Нули множителей — это \(x=2\) и \(x=\frac52\). Поэтому
\[ x\le 2 \quad\text{или}\quad x\ge \frac52. \]
С учётом условия \(x\ge 2\) получаем:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x\ge \frac52. \]
2. Возводим обе части в квадрат
\[ (x-2)(2x-5)=(x-2)^2. \]
Раскроем левую часть:
\[ (x-2)(2x-5)=2x^2-5x-4x+10=2x^2-9x+10. \]
Раскроем правую часть:
\[ (x-2)^2=x^2-4x+4. \]
Получаем уравнение:
\[ 2x^2-9x+10=x^2-4x+4. \]
Перенесём всё влево:
\[ x^2-5x+6=0. \]
3. Решаем квадратное уравнение
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}. \]
Отсюда:
\[ x_1=3,\qquad x_2=2. \]
Можно было решить и через разложение:
\[ (x-2)(2x-5)-(x-2)^2=0, \]
\[ (x-2)\bigl((2x-5)-(x-2)\bigr)=0, \]
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Получаем те же корни:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
4. Проверка
При \(x=2\):
\[ \sqrt{(2-2)(4-5)}+2=\sqrt{0}+2=2, \]
\[ x=2. \]
Равенство верное.
При \(x=3\):
\[ \sqrt{(3-2)(6-5)}+2=\sqrt{1}+2=1+2=3, \]
\[ x=3. \]
Тоже верно.
Ответ:
\[ \boxed{x=2;\quad x=3} \]
Или в виде множества:
\[ \boxed{\{2;3\}} \]
Важно: обе части нельзя сокращать на \(x-2\), потому что тогда мы потеряли бы корень \(x=2\).
