Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 3,\qquad x_2 = 2 \]

(корни можно записывать в любом порядке: \(x = 2\) и \(x = 3\))

Как это получается

Способ 1. По теореме Виета (самый быстрый)

Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p = -5\), \(q = 6\), значит:

\[ x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \]

Подбираем два числа: их сумма 5, произведение 6 — это \(2\) и \(3\). Всё, корни найдены.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

\(D > 0\), значит корней два:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{5+1}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{5-1}{2} = 2 \]

Способ 3. Разложением на множители

\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x = 2\) или \(x = 3\).

Проверка

Подставляем \(x = 2\): \(4 - 10 + 6 = 0\) ✓ Подставляем \(x = 3\): \(9 - 15 + 6 = 0\) ✓

Что важно запомнить

• Если \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один корень, \(D < 0\) — корней нет (в действительных числах).
• Виет работает только когда коэффициент при \(x^2\) равен 1 (иначе сначала делят на \(a\)).
• Сумма корней равна \(5\), а не \(-5\): знак меняется, потому что \(x_1 + x_2 = -p\), а \(p = -5\).