Система уравнений: y = -2; 6 · x - 9 · y + 6 = 0. Найти x — поле x = ___

Это следующая карточка того же урока на Uchi.ru — та же тема «системы уравнений», только теперь подготовка к методу сложения, поэтому продолжаю здесь.

Краткий ответ: в первое поле — 2, во второе — 1.

Почему так

Дана система: \[ \begin{cases} 2x + 6y = 0 \\ 4x - 3y + 15 = 0 \end{cases} \] Коэффициенты при \(x\) равны 2 и 4. Их наименьшее общее кратное — 4.

• Первое уравнение умножаем на \(4:2 = 2\): \[ 2\cdot(2x + 6y) = 2\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 4x + 12y = 0 \]
• Второе уравнение уже имеет коэффициент 4 при \(x\), поэтому умножаем на \(1\): \[ 1\cdot(4x - 3y + 15) = 0 \quad\Rightarrow\quad 4x - 3y + 15 = 0 \]

Теперь коэффициенты при \(x\) одинаковые: \(4\) и \(4\).

Если в первом поле уже вписана единица, её нужно заменить на 2: при умножении на 1 коэффициенты останутся 2 и 4, то есть разными.

Проверка смысла (что даст этот шаг)

После уравнивания коэффициентов при вычитании уравнений \(x\) уходит: \[ (4x + 12y) - (4x - 3y + 15) = 0 - 0 \] \[ 15y - 15 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 1 \] Подставляем \(y = 1\) в первое уравнение: \[ 2x + 6\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x = -6 \quad\Rightarrow\quad x = -3 \] Проверка по второму уравнению: \[ 4\cdot(-3) - 3\cdot 1 + 15 = -12 - 3 + 15 = 0 \] Всё сходится: решение системы \((-3;\,1)\).

Принцип для похожих карточек: чтобы уравнять коэффициенты при переменной, находят НОК их модулей и умножают каждое уравнение на недостающий множитель (НОК ÷ коэффициент).

Это продолжение той же карточки Uchi: предыдущий шаг (умножение на 2 и на 1) уже выполнен, теперь нужно записать результат вычитания.

Краткий ответ: в поля вписываем 0, 15, −15: \[ 0x + 15y + (-15) = 0 \] то есть по сути \(15y - 15 = 0\), откуда \(y = 1\).

Как получились числа

Вычитаем из верхнего уравнения нижнее — почленно:

• при \(x\): \(4 - 4 = 0\) — первое поле 0 (именно поэтому \(x\) «исчезает», ради этого и уравнивали коэффициенты);
• при \(y\): \(12 - (-3) = 12 + 3 = 15\) — второе поле 15;
• свободный член: \(0 - 15 = -15\) — третье поле −15.

Полная запись: \[ (4x + 12y) - (4x - 3y + 15) = 0 - 0 \] \[ 4x + 12y - 4x + 3y - 15 = 0 \] \[ 15y - 15 = 0 \]

Проверка

Если в интерфейсе нельзя ввести «плюс минус» и поле принимает только число, то в третьем поле ставим \(-15\): знак «плюс» перед ним уже стоит в шаблоне, а \(+\,(-15)\) и есть \(-15\). После этого \(15y = 15\), \(y = 1\), и дальше \(2x + 6\cdot 1 = 0\), \(x = -3\). Пара \((-3;\,1)\) подходит в оба исходных уравнения, значит всё верно.

Принцип: при вычитании уравнений меняем знаки у всех членов вычитаемого уравнения, поэтому коэффициент при \(y\) считается как \(12 - (-3)\), а свободный член — как \(0 - 15\).

Это продолжение той же карточки: предыдущее вычитание уже записано, теперь нужно решить получившееся уравнение относительно \(y\).

Краткий ответ: в поле для \(y\) вписываем 1.

Почему

Из шага «Вычтем из одного уравнения другое» получили: \[ 15y - 15 = 0 \] Переносим свободный член вправо с противоположным знаком: \[ 15y = 15 \] Делим обе части на \(15\) (коэффициент при \(y\)): \[ y = \frac{15}{15} = 1 \]

Проверка

Подставим \(y = 1\) в уравнение, оставшееся в системе: \[ 4x + 12\cdot 1 = 0 \;\Rightarrow\; 4x = -12 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Теперь проверяем пару \((-3;\,1)\) по исходной системе: \[ 2\cdot(-3) + 6\cdot 1 = -6 + 6 = 0 \] \[ 4\cdot(-3) - 3\cdot 1 + 15 = -12 - 3 + 15 = 0 \] Оба уравнения обращаются в ноль — значит \(y = 1\) найдено верно, а решение системы \((-3;\,1)\).

Принцип: после того как переменная «ушла» при вычитании, остаётся линейное уравнение \(ay + b = 0\); его решают в два действия — перенести \(b\) вправо, затем разделить на \(a\). Найденное значение подставляют во второе уравнение системы, чтобы получить оставшуюся переменную.

Это продолжение той же карточки: система уже сведена к \(y = 1\) и \(4x + 12y = 0\), теперь нужно выразить \(4x\).

Краткий ответ: в поле вписываем −12: \[ 4x = -12 \]

Почему

Берём уравнение, где остались обе переменные: \[ 4x + 12y = 0 \] Известно \(y = 1\), подставляем: \[ 4x + 12\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4x + 12 = 0 \] Переносим \(12\) вправо с противоположным знаком: \[ 4x = -12 \] (Если бы спрашивали \(x\), то \(x = \frac{-12}{4} = -3\).)

Проверка

Складываем найденное с первым уравнением и проверяем пару \((-3;\,1)\) по исходной системе: \[ 4\cdot(-3) + 12\cdot 1 = -12 + 12 = 0 \] \[ 4\cdot(-3) - 3\cdot 1 + 15 = -12 - 3 + 15 = 0 \] Оба равенства верны, значит \(4x = -12\), \(x = -3\), решение системы \((-3;\,1)\).

Принцип: когда просят найти не саму переменную, а выражение \(4x\), делить на \(4\) не нужно — достаточно перенести известный член в правую часть. Делят только на последнем шаге, когда нужен \(x\).

Это последний шаг той же карточки: всё уже сведено к \(\{y = 1;\ 4x = -12\}\), осталось получить сам \(x\).

Краткий ответ: в поле вписываем −3, то есть \(x = -3\). Решение системы: \((-3;\,1)\).

Почему

Из предыдущего шага: \[ 4x = -12 \] Делим обе части на коэффициент при \(x\), то есть на \(4\): \[ x = \frac{-12}{4} = -3 \] Знак сохраняется: отрицательное число делим на положительное — получаем отрицательное. В поле вводим именно \(-3\), с минусом.

Проверка

Подставляем \(x = -3\), \(y = 1\) в исходную систему: \[ 2\cdot(-3) + 6\cdot 1 = -6 + 6 = 0 \] \[ 4\cdot(-3) - 3\cdot 1 + 15 = -12 - 3 + 15 = 0 \] Оба уравнения обращаются в ноль — ответ верный.

Принцип для похожих заданий: когда уравнение приведено к виду \(ax = b\), делим обе части на \(a\) и получаем \(x = \frac{b}{a}\). Если после деления остаётся дробь, её можно сократить или оставить в виде обыкновенной дроби — главное, чтобы после подстановки получалось верное равенство.

Это следующая карточка того же урока Uchi.ru — снова метод сложения, теперь нужны противоположные коэффициенты при \(x\). Продолжаю.

Краткий ответ: в поле ставим 2.

Почему

Дана система: \[ \begin{cases} 3x - 1y - 12 = 0 \\ -6x + 30 = 0 \end{cases} \] Коэффициенты при \(x\): \(3\) и \(-6\). Они станут противоположными, если первый сделать равным \(6\). Значит первое уравнение умножаем на \[ \frac{6}{3} = 2 \] Получаем: \[ 2\cdot(3x - y - 12) = 2\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 6x - 2y - 24 = 0 \] Теперь при \(x\) стоят \(6\) и \(-6\) — числа противоположные, и при сложении уравнений \(x\) исчезнет.

Проверка (что даёт этот шаг)

Складываем почленно: \[ (6x - 2y - 24) + (-6x + 30) = 0 + 0 \] \[ -2y + 6 = 0 \;\Rightarrow\; y = 3 \] Из второго уравнения сразу находится \(x\): \[ -6x + 30 = 0 \;\Rightarrow\; 6x = 30 \;\Rightarrow\; x = 5 \] Проверяем пару \((5;\,3)\) по первому уравнению: \[ 3\cdot 5 - 3 - 12 = 15 - 3 - 12 = 0 \] Верно. Решение системы — \((5;\,3)\).

Принцип: чтобы коэффициенты при переменной стали противоположными, уравнивают их модули и следят за знаками — множитель берут так, чтобы получить \(a\) и \(-a\) (здесь \(6\) и \(-6\)). Тогда при сложении уравнений эта переменная обнуляется, и остаётся уравнение с одной неизвестной.

Это продолжение той же темы Uchi.ru — снова метод сложения, но теперь нужно сделать коэффициенты при \(x\) противоположными.

Краткий ответ: в поле ставим −2.

Почему именно −2, а не 2

В первом уравнении коэффициент при \(x\) равен \(2\), во втором — \(4\). Чтобы после умножения получились противоположные числа, коэффициент первого уравнения должен стать равным \(-4\):

\[ 2 \cdot (-2) = -4 \]

Умножаем первое уравнение на \(-2\):

\[ -2\cdot(2x - y + 8) = -2\cdot 0 \]

\[ -4x + 2y - 16 = 0 \]

Теперь в системе стоят коэффициенты при \(x\):

\[ -4 \quad \text{и} \quad 4 \]

Это противоположные числа, поэтому при сложении уравнений \(x\) исчезнет.

Если умножить на \(2\), получится \(4\) и \(4\) — коэффициенты будут одинаковыми, а не противоположными.

Проверка решения системы

Складываем уравнения:

\[ (-4x + 2y - 16) + (4x + 8) = 0 \]

\[ 2y - 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 4 \]

Из второго уравнения:

\[ 4x + 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4x = -8 \quad\Rightarrow\quad x = -2 \]

Проверяем пару \((-2;\,4)\) по первому исходному уравнению:

\[ 2\cdot(-2) - 4 + 8 = -4 - 4 + 8 = 0 \]

Всё сходится: решение системы — \((-2;\,4)\), а в поле нужно ввести −2.

Это продолжение той же темы Uchi.ru — снова метод сложения, нужно сделать коэффициенты при \(x\) противоположными.

Краткий ответ: в первое поле вписываем 2, во второе — −3. (Подойдёт и вариант наоборот: −2 и 3.)

Почему так

Дана система: \[ \begin{cases} 3x + 3y - 3 = 0 \\ 2x + 6 = 0 \end{cases} \]

Коэффициенты при \(x\) — это \(3\) и \(2\). Нам нужны одинаковые по модулю, но противоположные по знаку числа. Наименьшее общее кратное для \(3\) и \(2\) — это \(6\).

• Первое уравнение умножаем на \(2\): \[ 2\cdot(3x + 3y - 3) = 6x + 6y - 6 = 0 \]
• Второе уравнение умножаем на \(-3\): \[ -3\cdot(2x + 6) = -6x - 18 = 0 \]

Теперь при \(x\) стоят \(6\) и \(-6\) — они противоположны, значит при сложении уравнений \(x\) исчезнет.

Проверка решения

Складываем полученные уравнения: \[ (6x + 6y - 6) + (-6x - 18) = 0 \] \[ 6y - 24 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6y = 24 \quad\Rightarrow\quad y = 4 \]

Из второго уравнения сразу находим \(x\): \[ 2x + 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x = -6 \quad\Rightarrow\quad x = -3 \]

Проверяем пару \((-3;\,4)\) по первому исходному уравнению: \[ 3\cdot(-3) + 3\cdot 4 - 3 = -9 + 12 - 3 = 0 \] Всё сходится. Решение системы: \((-3;\,4)\).

Принцип: чтобы получить противоположные коэффициенты, находят НОК их модулей (здесь 6) и подбирают множители так, чтобы получить \(6\) и \(-6\) (или \(-6\) и \(6\)).

Это продолжение той же темы Uchi.ru: снова метод сложения, только теперь нужно выбрать подходящую систему из готовых.

Краткий ответ: первая (левая) система.

Почему

При сложении уравнений переменная исчезает, если её коэффициенты — противоположные числа, то есть \(a\) и \(-a\). Проверяем каждый вариант.

1) Левая система \[ \begin{cases} -4x - 3y + 32 = 0 \\ 4x - 20 = 0 \end{cases} \] При \(x\) стоят \(-4\) и \(4\). Складываем: \[ (-4x - 3y + 32) + (4x - 20) = 0 \] \[ -3y + 12 = 0 \;\Rightarrow\; y = 4 \] Из второго уравнения \(4x = 20\), то есть \(x = 5\). Проверка: \(-4\cdot 5 - 3\cdot 4 + 32 = -20 - 12 + 32 = 0\). Подходит.

2) Средняя система \[ \begin{cases} 3x + 12y + 24 = 0 \\ -9x + 4y - 32 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(3\) и \(-9\) — не противоположны. При \(y\): \(12\) и \(4\) — тоже. После сложения получится \(-6x + 16y - 8 = 0\), обе переменные остаются. Не подходит.

3) Правая система \[ \begin{cases} -5x + 12y - 10 = 0 \\ 10x + 4y + 20 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(-5\) и \(10\), при \(y\): \(12\) и \(4\). Ни одна пара не даёт нуля: выйдет \(5x + 16y + 10 = 0\). Не подходит.

Принцип: сравнивай коэффициенты при одной и той же переменной в двух уравнениях — сокращение возможно, только если они равны по модулю и противоположны по знаку (например, \(-4\) и \(4\)). Сами уравнения при этом складывают почленно, знаки не меняют.

Это продолжение той же карточки: система та же, что мы только что разобрали, теперь Uchi.ru спрашивает, какая переменная исчезнет при сложении.

Краткий ответ: выбираем \(x\).

Почему

\[ \begin{cases} -4x - 3y + 32 = 0 \\ 4x - 20 = 0 \end{cases} \]

Складываем уравнения почленно:

• по \(x\): \(-4x + 4x = 0\) — коэффициент обнуляется, переменная сокращается;
• по \(y\): во втором уравнении слагаемого с \(y\) вообще нет, остаётся \(-3y\);
• свободные члены: \(32 + (-20) = 12\).

Получаем: \[ -3y + 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 4 \]

Сократилась именно \(x\), потому что её коэффициенты \(-4\) и \(4\) — противоположные числа. А \(y\) осталась, ведь сокращаться ей не с чем: во втором уравнении её нет.

Из второго уравнения сразу \(4x = 20\), \(x = 5\). Проверка: \(-4\cdot 5 - 3\cdot 4 + 32 = -20 - 12 + 32 = 0\). Решение системы — \((5;\,4)\).

Принцип: при сложении уравнений сокращается та переменная, у которой коэффициенты равны по модулю и противоположны по знаку. Если переменной во втором уравнении нет вовсе, то её коэффициент там считается нулевым — сократиться она не может.

Это продолжение того же урока Uchi.ru — карточка того же типа, но числа в вариантах другие, поэтому прошлый вывод сюда не переносится: смотрю именно на этот экран.

Краткий ответ: выбираем среднюю систему.

Разбор всех трёх вариантов

Сокращение при сложении возможно, только если коэффициенты при какой-то переменной — противоположные числа (\(a\) и \(-a\)).

1) Левая система \[ \begin{cases} -x + 9y - 11 = 0 \\ 3x + 3y + 3 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(-1\) и \(3\); при \(y\): \(9\) и \(3\). Противоположных пар нет, после сложения получится \(2x + 12y - 8 = 0\) — обе переменные остались. Не подходит.

2) Средняя система \[ \begin{cases} 5x - y + 12 = 0 \\ -5x - 10 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(5\) и \(-5\) — противоположные. Складываем: \[ (5x - y + 12) + (-5x - 10) = 0 \] \[ -y + 2 = 0 \;\Rightarrow\; y = 2 \] Переменная \(x\) сократилась. Из второго уравнения \(-5x = 10\), то есть \(x = -2\). Проверка по первому: \(5\cdot(-2) - 2 + 12 = -10 - 2 + 12 = 0\). Подходит.

3) Правая система \[ \begin{cases} -2x + 6y - 30 = 0 \\ 4x + 3y = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(-2\) и \(4\); при \(y\): \(6\) и \(3\). Тоже нет противоположных, сумма даст \(2x + 9y - 30 = 0\). Не подходит.

Принцип: сравнивай коэффициенты при одной и той же переменной в двух уравнениях. Если это \(a\) и \(-a\) (например, \(5\) и \(-5\)), то при почленном сложении эта переменная обнуляется, а знаки членов при сложении не меняются.

Это продолжение той же темы Uchi.ru — снова выбор системы, где переменная сокращается при сложении.

Краткий ответ: выбираем левую систему (первую, где \(x - 2y - 4 = 0\) и \(2y + 2 = 0\)) — сократится \(y\).

Разбор вариантов

1) Левая система \[ \begin{cases} x - 2y - 4 = 0 \\ 2y + 2 = 0 \end{cases} \] При \(y\) стоят \(-2\) и \(2\) — противоположные числа. Складываем: \[ (x - 2y - 4) + (2y + 2) = 0 \] \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Из второго уравнения \(2y = -2\), значит \(y = -1\). Проверка по первому: \(2 - 2\cdot(-1) - 4 = 2 + 2 - 4 = 0\). Подходит, \(y\) сократилась.

2) Средняя система \[ \begin{cases} 4x - 4y + 16 = 0 \\ -8x - 2y - 22 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(4\) и \(-8\); при \(y\): \(-4\) и \(-2\). Противоположных пар нет, после сложения выйдет \(-4x - 6y - 6 = 0\). Не подходит.

3) Правая система \[ \begin{cases} -4x + 8y + 24 = 0 \\ 8x + 4y - 28 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(-4\) и \(8\); при \(y\): \(8\) и \(4\). Тоже не противоположные, сумма даст \(4x + 12y - 4 = 0\). Не подходит.

Принцип: складывай почленно и смотри, у какой переменной коэффициенты — это \(a\) и \(-a\). У чисел с разными знаками одинаковый модуль встречается только в первой системе (\(-2\) и \(2\)), поэтому именно там одна неизвестная уходит.

Это продолжение того же урока Uchi.ru — снова выбор системы, где при сложении сокращается переменная. Числа в вариантах новые, поэтому проверяю все три.

Краткий ответ: выбираем правую (третью) систему — там сокращается \(y\).

Проверка вариантов

1) Левая система \[ \begin{cases} 4x - 12y - 56 = 0 \\ 8x - 4y - 52 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(4\) и \(8\); при \(y\): \(-12\) и \(-4\). Противоположных пар нет — после сложения выйдет \(12x - 16y - 108 = 0\), обе переменные остаются. Не подходит.

2) Средняя система \[ \begin{cases} 4x - 3y - 13 = 0 \\ -2x - 4 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(4\) и \(-2\) — не противоположные (разные модули); \(y\) во втором уравнении вообще нет, сокращаться ей не с чем. Сумма: \(2x - 3y - 17 = 0\). Не подходит.

3) Правая система \[ \begin{cases} -x - 3y - 15 = 0 \\ -2x + 3y - 10 = 0 \end{cases} \] При \(y\) стоят \(-3\) и \(3\) — противоположные числа. Складываем почленно: \[ (-x - 3y - 15) + (-2x + 3y - 10) = 0 \] \[ -3x - 25 = 0 \] Переменная \(y\) исчезла, осталось уравнение только с \(x\).

Проверка решения

Из \(-3x - 25 = 0\) получаем \(x = -\frac{25}{3}\). Подставляем во второе уравнение: \[ -2\cdot\left(-\frac{25}{3}\right) + 3y - 10 = 0 \] \[ \frac{50}{3} - 10 + 3y = 0 \;\Rightarrow\; \frac{20}{3} + 3y = 0 \;\Rightarrow\; y = -\frac{20}{9} \] Проверяем первое уравнение: \[ -\left(-\frac{25}{3}\right) - 3\cdot\left(-\frac{20}{9}\right) - 15 = \frac{25}{3} + \frac{20}{3} - 15 = 15 - 15 = 0 \] Сходится — значит \(y\) действительно сократилась.

Принцип: ищи пару коэффициентов вида \(a\) и \(-a\) при одной и той же переменной. Здесь это \(-3\) и \(3\) при \(y\). Числа после сокращения могут получиться нецелыми — это нормально, важно, что переменная ушла.

Это продолжение того же урока Uchi.ru — снова нужно выбрать систему, в которой при сложении уравнений сокращается переменная. Числа в вариантах новые, поэтому проверяю каждый.

Краткий ответ: подходит левая система (первая: \(3x + 3y - 12 = 0\) и \(-3x - 9 = 0\)) — сократится \(x\).

Проверка вариантов

1) Левая система \[ \begin{cases} 3x + 3y - 12 = 0 \\ -3x - 9 = 0 \end{cases} \] При \(x\) стоят \(3\) и \(-3\) — противоположные числа. Складываем почленно: \[ (3x + 3y - 12) + (-3x - 9) = 0 \] \[ 3y - 21 = 0 \;\Rightarrow\; 3y = 21 \;\Rightarrow\; y = 7 \] Из второго уравнения: \(-3x = 9\), то есть \(x = -3\). Проверка по первому: \(3\cdot(-3) + 3\cdot 7 - 12 = -9 + 21 - 12 = 0\). Подходит: \(x\) действительно сократилась.

2) Средняя система \[ \begin{cases} 3x + 6y + 24 = 0 \\ 9x + 2y + 24 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(3\) и \(9\); при \(y\): \(6\) и \(2\). Противоположных пар нет — сумма даст \(12x + 8y + 48 = 0\), обе переменные остались. Не подходит.

3) Правая система \[ \begin{cases} x + 8y + 2 = 0 \\ 6x + 4y + 26 = 0 \end{cases} \] При \(x\): \(1\) и \(6\); при \(y\): \(8\) и \(4\). Тоже нет противоположных, после сложения выйдет \(7x + 12y + 28 = 0\). Не подходит.

Принцип: при почленном сложении уравнений сокращается та переменная, у которой коэффициенты — числа \(a\) и \(-a\), то есть одинаковые по модулю и разные по знаку. В этой карточке такая пара есть только в первой системе (\(3\) и \(-3\) при \(x\)).