номер 1191

Ответ: \(n=1\) и \(n=49\).

\[ \frac{(n-7)^2}{n} =\frac{n^2-14n+49}{n} =n-14+\frac{49}{n} \]

Так как \(n\) натуральное, выражение \(n-14\) целое. Значит, вся дробь будет целой только тогда, когда \(\frac{49}{n}\) целое, то есть \(n\) — делитель числа \(49\).

Натуральные делители: \(1,\ 7,\ 49\).

Проверка:

• \(n=1\): \(\frac{(1-7)^2}{1}=36\) — натуральное;
• \(n=7\): \(\frac{0^2}{7}=0\) — не натуральное;
• \(n=49\): \(\frac{42^2}{49}=36\) — натуральное.

Значит, подходят только \(n=1\) и \(n=49\).