(√20)^(x+3) = 2(√5)^(x+3)

Краткий ответ: \(x=-2\).

Решение

\[ (\sqrt{20})^{x+3}=2(\sqrt5)^{x+3} \]

Упростим основание:

\[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5 \]

Тогда уравнение принимает вид:

\[ (2\sqrt5)^{x+3}=2(\sqrt5)^{x+3} \]

Разделим обе части на положительное выражение \((\sqrt5)^{x+3}\):

\[ 2^{x+3}=2 \]

Так как \(2=2^1\), а показательная функция с основанием \(2\) возрастает, показатели равны:

\[ x+3=1 \]

\[ x=-2 \]

Проверка. При \(x=-2\) показатель равен \(1\):

\[ (\sqrt{20})^1=\sqrt{20}=2\sqrt5=2(\sqrt5)^1 \]

Верно.