1. Основание равнобедренного треугольника равно 37 см, а длина боковой стороны 99 см. Найдите периметр треугольника.

На листе 10 заданий — ниже ответы ко всем и краткие пояснения.

Краткие ответы

1. \(235\) см.
2. \(\angle TDR=52^\circ,\ \angle RSD=90^\circ\).
3. Утверждение доказано.
4. Утверждение доказано.
5. \(30^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ\).
6. \(76\).
7. \(8^\circ,\ 88^\circ,\ 128^\circ,\ 136^\circ\).
8. \(\angle E=\angle Z=138^\circ\).
9. При вершинах \(Z,\ C,\ F,\ K\): \(146^\circ,\ 91^\circ,\ 121^\circ,\ 2^\circ\).
10. \(48\) см.

Разбор

1. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому \[ P=37+99+99=235\text{ см}. \]

2. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также биссектрисой и высотой. Значит, \[ \angle TDR=2\cdot 26^\circ=52^\circ, \] а \(DS\perp TR\), поэтому \[ \angle RSD=90^\circ. \]

3. Рассмотрим \(\triangle EZC\) и \(\triangle AZB\). У них:

• \(EZ=AZ\) как боковые стороны равнобедренного треугольника;
• \(ZC=ZB\) по условию;
• \(\angle EZC=\angle AZB\) — это один и тот же угол при вершине \(Z\).

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому \[ \angle ECZ=\angle ABZ. \]

4. В равнобедренном треугольнике \(TXR\) медиана \(XA\), проведённая к основанию \(TR\), является высотой и делит основание пополам: \[ XA\perp TR,\qquad TA=AR. \] Прямоугольные треугольники \(CTA\) и \(CRA\) имеют общий катет \(CA\) и равные катеты \(TA=AR\). Они равны по двум катетам, следовательно, \[ \angle TCA=\angle RCA. \]

5. Пусть меньший острый угол равен \(x\), тогда больший равен \(2x\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\): \[ x+2x=90^\circ,\quad 3x=90^\circ,\quad x=30^\circ. \] Углы треугольника: \(30^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ\).

6. Если один острый угол равен \(60^\circ\), то другой равен \(30^\circ\). Меньший катет лежит против угла \(30^\circ\) и равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза \(c\), тогда меньший катет \(\frac{c}{2}\): \[ c+\frac{c}{2}=114, \] \[ \frac{3c}{2}=114,\qquad c=76. \] Проверка: \(76+38=114\).

7. Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\). Всего частей: \[ 1+11+16+17=45. \] Одна часть: \[ 360^\circ:45=8^\circ. \] Углы: \[ 8^\circ,\quad 11\cdot 8^\circ=88^\circ,\quad 16\cdot 8^\circ=128^\circ,\quad 17\cdot 8^\circ=136^\circ. \]

8. Треугольники \(MEB\) и \(MZB\) равны по трём сторонам: \(ME=MZ\), \(BE=BZ\), \(MB\) — общая. Поэтому \[ \angle MEB=\angle MZB, \] то есть два неизвестных угла четырёхугольника равны. Пусть каждый из них \(x\). Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\): \[ 53^\circ+31^\circ+2x=360^\circ, \] \[ 2x=276^\circ,\qquad x=138^\circ. \] Значит, \(\angle E=\angle Z=138^\circ\).

9. Сначала найдём угол \(K\) в треугольнике \(NTK\): \[ \angle K=180^\circ-114^\circ-64^\circ=2^\circ. \] Так как \(TZ\) — биссектриса, то \[ \angle ZTK=\frac{64^\circ}{2}=32^\circ. \] В треугольнике \(KZT\): \[ \angle KZT=180^\circ-2^\circ-32^\circ=146^\circ. \] Это угол четырёхугольника при вершине \(Z\), потому что \(C\) лежит на \(TZ\).

Аналогично \(NF\) — биссектриса, поэтому \[ \angle KNF=\frac{114^\circ}{2}=57^\circ. \] В треугольнике \(KFN\): \[ \angle KFN=180^\circ-2^\circ-57^\circ=121^\circ. \] Это угол четырёхугольника при вершине \(F\), так как \(C\) лежит на \(NF\).

Угол при вершине \(K\): \[ \angle ZKF=2^\circ. \] Остался угол при \(C\): \[ \angle ZCF=360^\circ-(146^\circ+121^\circ+2^\circ)=91^\circ. \] Итак, углы четырёхугольника \(ZCFK\): \[ 146^\circ,\quad 91^\circ,\quad 121^\circ,\quad 2^\circ. \]

10. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \[ RD=\frac{PR}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ см}, \] \[ DB=\frac{EB}{2}=\frac{28}{2}=14\text{ см}. \] Противоположные стороны параллелограмма равны: \[ RB=PE=19\text{ см}. \] Периметр треугольника \(RDB\): \[ 15+14+19=48\text{ см}. \]