276 , кратко и понятно 9 класс , без заумных формул

Краткие ответы

• а) \(x=\pm 2\)
• б) \(t=-1;\ 1;\ 3\)
• в) \(x=-3;\ 2\)
• г) \(x=1;\ -\frac{3}{2};\ \frac{-1-\sqrt{17}}{4};\ \frac{-1+\sqrt{17}}{4}\)

Как решать: главный принцип

Ищем одинаковый «кусок», который повторяется в уравнении. Обозначаем его новой буквой \(u\). Получается обычное квадратное уравнение. Находим \(u\), а потом возвращаемся к \(x\) или \(t\).

а) \((2x^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0\)

Пусть \(u=2x^2+3\). Тогда:

\[ u^2-12u+11=0 \]

Корни: \(u=1\) и \(u=11\).

Но \(2x^2+3\ge 3\), поэтому \(u=1\) не подходит. Остаётся:

\[ 2x^2+3=11 \]

\[ 2x^2=8,\quad x^2=4,\quad x=\pm2 \]

---

б) \((t^2-2t)^2-3=2(t^2-2t)\)

Пусть \(u=t^2-2t\). Тогда:

\[ u^2-2u-3=0 \]

Корни: \(u=3\) и \(u=-1\).

1. \(t^2-2t=3\)

\[ t^2-2t-3=0 \]

Корни: \(t=3\) и \(t=-1\).

2. \(t^2-2t=-1\)

\[ t^2-2t+1=0 \]

\[ (t-1)^2=0 \]

Корень: \(t=1\).

---

в) \((x^2+x-1)(x^2+x+2)=40\)

Пусть \(u=x^2+x\). Тогда:

\[ (u-1)(u+2)=40 \]

\[ u^2+u-42=0 \]

Корни: \(u=6\) и \(u=-7\).

1. \(x^2+x=6\)

\[ x^2+x-6=0 \]

Корни: \(x=2\) и \(x=-3\).

2. \(x^2+x=-7\)

\[ x^2+x+7=0 \]

Дискриминант \(1-28=-27<0\), значит корней нет.

---

г) \((2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0\)

Пусть \(u=2x^2+x\). Тогда:

\[ (u-1)(u-4)+2=0 \]

\[ u^2-5u+6=0 \]

Корни: \(u=2\) и \(u=3\).

1. \(2x^2+x=2\)

\[ 2x^2+x-2=0 \]

\[ D=1+16=17 \]

\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4} \]

2. \(2x^2+x=3\)

\[ 2x^2+x-3=0 \]

\[ D=1+24=25 \]

\[ x=\frac{-1\pm5}{4} \]

То есть \(x=1\) и \(x=-\frac{3}{2}\).

---

Проверка: если подставить найденные корни в исходные уравнения, получаются верные равенства. Главное — после замены не забыть вернуться к исходной переменной.