276 , кратко и понятно 9 класс , без заумных формул
Краткие ответы:
- а) \(x=\pm2\)
- б) \(t=-1;\ 1;\ 3\)
- в) \(x=-3;\ 2\)
- г) \(x=1;\ -1{,}5;\ \frac{-1-\sqrt{17}}{4};\ \frac{-1+\sqrt{17}}{4}\)
Главная идея: в каждом уравнении есть повторяющееся выражение. Обозначаем его новой буквой, получаем обычное квадратное уравнение, решаем его, а потом возвращаемся к \(x\) или \(t\).
а) Пусть \(y=2x^2+3\). Тогда:
\[ y^2-12y+11=0 \]
Корни: \(y=1\) и \(y=11\).
- \(y=1\): \(2x^2+3=1\), то есть \(2x^2=-2\) — корней нет.
- \(y=11\): \(2x^2+3=11\), \(x^2=4\), значит \(x=\pm2\).
б) Сначала перенесём всё влево:
\[ (t^2-2t)^2-2(t^2-2t)-3=0 \]
Пусть \(y=t^2-2t\). Тогда:
\[ y^2-2y-3=0 \]
Корни: \(y=-1\) и \(y=3\).
- \(y=-1\): \(t^2-2t=-1\), получаем \((t-1)^2=0\), значит \(t=1\).
- \(y=3\): \(t^2-2t=3\), получаем \(t^2-2t-3=0\), значит \(t=-1\) или \(t=3\).
в) Пусть \(y=x^2+x\). Тогда уравнение примет вид:
\[ (y-1)(y+2)=40 \]
\[ y^2+y-42=0 \]
Корни: \(y=-7\) и \(y=6\).
- \(y=-7\): \(x^2+x+7=0\). Дискриминант отрицательный, корней нет.
- \(y=6\): \(x^2+x-6=0\), значит \(x=-3\) или \(x=2\).
г) Пусть \(y=2x^2+x\). Тогда:
\[ (y-1)(y-4)+2=0 \]
\[ y^2-5y+6=0 \]
Корни: \(y=2\) и \(y=3\).
- \(y=2\): \(2x^2+x-2=0\). Дискриминант \(D=17\), поэтому
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4} \]
- \(y=3\): \(2x^2+x-3=0\). Корни: \(x=1\) и \(x=-1{,}5\).
Проверка: подстановка найденных корней в исходные уравнения даёт верные равенства. Например, в пункте а) при \(x=2\):
\[ (2\cdot4+3)^2-12(2\cdot4+3)+11=11^2-132+11=0 \]
Запомни: замена удобна, когда одно и то же выражение встречается несколько раз. После решения квадратного уравнения обязательно возвращайся к старой переменной и отбрасывай те значения \(y\), которые не дают действительных корней.
