Площадь треугольника ABC равна 30, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Планиметрия → Треугольник: задачи на подобие
Площадь треугольника ABC равна 30, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
[Рисунок: треугольник ABC; вершина C расположена сверху, A — слева внизу, B — справа внизу; D лежит на AC, E — на BC; отрезок DE параллелен AB; треугольник CDE закрашен; на сторонах AC и BC видны штриховые отметки.]
Краткий ответ: \(S_{CDE}=7{,}5\).
Ключевые шаги:
\(DE\) — средняя линия, значит, \(D\) и \(E\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\): \[ CD=\frac{AC}{2},\qquad CE=\frac{BC}{2}. \]
Треугольники \(CDE\) и \(CAB\) подобны с коэффициентом \[ k=\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}. \]
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=k^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14. \]
Поэтому \[ S_{CDE}=\frac{30}{4}=7{,}5. \]
Проверка: у треугольника \(CDE\) и основание \(DE\), и высота из вершины \(C\) вдвое меньше, чем у \(ABC\), поэтому площадь уменьшается в \(4\) раза.
