Площадь треугольника ABC равна 28, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Планиметрия → Треугольник: задачи на подобие

Площадь треугольника $ABC$ равна 28, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь трапеции $ABED$.

[Рисунок: треугольник $ABC$; на сторонах $AC$ и $BC$ отмечены соответственно точки $D$ и $E$, соединённые отрезком $DE$, параллельным $AB$; отрезки $AD$ и $DC$ отмечены одинаковыми одиночными штрихами, отрезки $CE$ и $EB$ — одинаковыми двойными штрихами; четырёхугольник $ABED$ закрашен.]

Answer

Краткий ответ: $21$.

Средняя линия $DE$ параллельна $AB$, поэтому треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны. Коэффициент подобия:

$$
k=\frac{DE}{AB}=\frac12.
$$

Отношение площадей подобных фигур равно $k^2$:

$$
\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=k^2=\frac14.
$$

Значит,

$$
S_{CDE}=\frac{28}{4}=7.
$$

Трапеция $ABED$ — это треугольник $ABC$ без треугольника $CDE$:

$$
S_{ABED}=28-7=21.
$$

Проверка. Трапеция составляет $\frac34$ площади большого треугольника:

$$
\frac34\cdot 28=21.
$$

Главный принцип: при подобии с коэффициентом $k$ длины увеличиваются в $k$ раз, а площади — в $k^2$ раз.