Две стороны треугольника равны 18 и 24. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 12. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон треугольника.

Ответ: 16.

Ключевая идея. Площадь треугольника не зависит от того, какую сторону считать основанием:

\[S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_b\]

Отсюда важное следствие: \(a\cdot h_a=b\cdot h_b\), то есть высоты обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены: чем меньше сторона, тем больше высота.

Шаги решения

1. Считаю площадь через большую сторону \(24\) и высоту к ней \(12\): \[S=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 12=144\]

2. Ту же площадь выражаю через меньшую сторону \(18\) и искомую высоту \(h\): \[\frac{1}{2}\cdot 18\cdot h=144\]

3. Решаю: \(9h=144\), значит \[h=\frac{144}{9}=16\]

Проверка. Произведения «сторона на свою высоту» должны совпадать: \[24\cdot 12=288,\qquad 18\cdot 16=288\] Сходится. Ответ \(16\) больше высоты к большей стороне — так и должно быть.

Как решать похожие. Всегда находите площадь по той паре «сторона — высота», где известны оба числа, а потом приравнивайте к выражению с неизвестной высотой. Или сразу пользуйтесь формулой \(h_1=\dfrac{a_2 h_2}{a_1}\).