В треугольнике ABC сторона AB равна 3√3, угол C равен 120°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Планиметрия → Теорема синусов и теорема косинусов
В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB\) равна \(3\sqrt{3}\), угол \(C\) равен \(120^\circ\). Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
[Рисунок: окружность; в неё вписан треугольник \(ABC\): \(C\) сверху, \(A\) слева, \(B\) справа; \(AB\) — хорда.]
Краткий ответ: \(R=3\).
Как понять принцип. В любом треугольнике сторону и противолежащий угол связывает расширенная теорема синусов: \[ \frac{AB}{\sin C}=2R, \] где \(R\) — радиус описанной окружности.
Здесь угол \(C\) лежит против стороны \(AB\), поэтому: \[ 2R=\frac{3\sqrt3}{\sin120^\circ}. \] Так как \[ \sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \] получаем: \[ 2R=\frac{3\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=6, \qquad R=3. \]
Проверка: если \(R=3\), то диаметр равен \(6\), а сторона \(AB\): \[ 6\sin120^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3. \] Всё сходится.
