алгебра 8 класс всё о квадратном корне. Также доступно и понятно, с примерами
Коротко
\[ \sqrt a=b \quad \Longleftrightarrow \quad b\ge 0,\; b^2=a \]
То есть \(\sqrt a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Поэтому:
- \(\sqrt{49}=7\), а не \(\pm7\);
- а вот уравнение \(x^2=49\) имеет два корня: \(x=\pm7\);
- \(\sqrt{a}\) существует только при \(a\ge0\).
1. Что такое квадратный корень
Квадратный корень из числа \(a\) — это число, которое при возведении в квадрат даёт \(a\).
Например:
\[ \sqrt{64}=8, \]
потому что
\[ 8^2=64. \]
При этом \((-8)^2=64\), но запись \(\sqrt{64}\) означает именно неотрицательный корень. Его называют арифметическим квадратным корнем.
Полезно помнить квадраты чисел:
\[ 1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9,\ 4^2=16,\ 5^2=25, \] \[ 6^2=36,\ 7^2=49,\ 8^2=64,\ 9^2=81,\ 10^2=100. \]
Ещё примеры:
\[ \sqrt{121}=11,\qquad \sqrt{0{,}25}=0{,}5,\qquad \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac34. \]
2. Когда корень существует
Подкоренное выражение не может быть отрицательным:
\[ \sqrt{a}\ \text{существует при } a\ge0. \]
Например:
- \(\sqrt{25}\) существует;
- \(\sqrt{-9}\) среди действительных чисел не существует;
- выражение \(\sqrt{x-3}\) имеет смысл при \(x-3\ge0\), то есть при \(x\ge3\).
3. Главные свойства
1) Квадрат корня
\[ (\sqrt a)^2=a,\qquad a\ge0. \]
Пример:
\[ (\sqrt7)^2=7. \]
2) Корень из произведения
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\qquad a\ge0,\ b\ge0. \]
Пример:
\[ \sqrt{4\cdot9}=\sqrt4\cdot\sqrt9=2\cdot3=6. \]
3) Корень из дроби
\[ \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b},\qquad a\ge0,\ b>0. \]
Пример:
\[ \sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=\frac75. \]
4) Корень из квадрата
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Это важное свойство. Например:
\[ \sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7=|-7|. \]
Если заранее известно, что \(x\ge0\), то
\[ \sqrt{x^2}=x. \]
А если знак \(x\) неизвестен, то обязательно:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
5) Чего делать нельзя
Нельзя «разносить» корень по сумме:
\[ \sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b. \]
Проверим на числах:
\[ \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5, \]
а
\[ \sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7. \]
Получилось \(5\ne7\), значит правило неверное.
4. Как упрощать корни
Вынесение полного квадрата
Ищем среди множителей полный квадрат:
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2=6\sqrt2. \]
Ещё пример:
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2. \]
Проверка: \((6\sqrt2)^2=36\cdot2=72\), значит всё верно.
Сложение и вычитание
Складывать можно только одинаковые корни:
\[ 3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2. \]
Но
\[ \sqrt2+\sqrt3 \]
упростить как один корень нельзя.
Иногда сначала нужно вынести множитель:
\[ \sqrt8+\sqrt{18}=2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2. \]
Потому что
\[ \sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2, \] \[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2. \]
Умножение и деление
\[ \sqrt{12}\cdot\sqrt3=\sqrt{36}=6. \]
\[ \frac{\sqrt{18}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt9=3. \]
Избавление от корня в знаменателе
\[ \frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3. \]
Ещё пример:
\[ \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. \]
Сравнение корней
Сравнивать удобно, возводя оба числа в квадрат.
Например, сравним \(2\sqrt3\) и \(3\sqrt2\):
\[ (2\sqrt3)^2=4\cdot3=12, \] \[ (3\sqrt2)^2=9\cdot2=18. \]
Так как \(12<18\), то
\[ 2\sqrt3<3\sqrt2. \]
5. Уравнения с квадратным корнем
Уравнение \(x^2=a\)
- Если \(a<0\), корней нет;
- если \(a=0\), то \(x=0\);
- если \(a>0\), то
\[ x=\pm\sqrt a. \]
Примеры:
\[ x^2=49 \quad \Rightarrow\quad x=\pm7. \]
\[ x^2=5 \quad \Rightarrow\quad x=\pm\sqrt5. \]
\[ x^2=-4 \quad \Rightarrow\quad \text{корней нет}. \]
Уравнение \(\sqrt{x}=a\)
Так как корень неотрицателен, должно быть \(a\ge0\). Тогда:
\[ x=a^2. \]
Пример:
\[ \sqrt{x}=6 \quad \Rightarrow\quad x=36. \]
А уравнение
\[ \sqrt{x}=-3 \]
не имеет решений: квадратный корень не может быть отрицательным.
Уравнение \(\sqrt{x-1}=4\)
Возводим обе части в квадрат:
\[ x-1=16, \]
\[ x=17. \]
Проверка:
\[ \sqrt{17-1}=\sqrt{16}=4. \]
Верно.
Важно: проверка после возведения в квадрат
Иногда появляются лишние корни. Например:
\[ \sqrt{x}=x-2. \]
Сначала нужно, чтобы \(x\ge0\) и \(x-2\ge0\), то есть \(x\ge2\).
Возводим в квадрат:
\[ x=(x-2)^2, \]
\[ x=x^2-4x+4, \]
\[ x^2-5x+4=0, \]
\[ (x-1)(x-4)=0. \]
Получаем \(x=1\) или \(x=4\). Но условие \(x\ge2\) оставляет только
\[ x=4. \]
Проверка:
\[ \sqrt4=2,\qquad 4-2=2. \]
Всё сходится. Корень \(x=1\) — посторонний.
6. Частые ошибки
Считать, что \(\sqrt{25}=\pm5\).
Нет: \(\sqrt{25}=5\). А вот \(x^2=25\) даёт \(x=\pm5\).Писать \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\).
Это неверно.Забывать модуль: \[ \sqrt{x^2}=|x|,\quad \text{а не } x. \]
Не проверять корни после возведения уравнения в квадрат.
Считать, что \(\sqrt{-9}\) существует среди действительных чисел.
В 8 классе такие выражения не имеют смысла.
7. Проверь себя
- Вычисли: \(\sqrt{196}\).
- Упрости: \(\sqrt{27}+\sqrt{12}\).
- Упрости: \(\sqrt{72}\).
- Реши: \(x^2=0{,}36\).
- Реши: \(\sqrt{x+7}=5\).
- Сравни: \(4\sqrt2\) и \(3\sqrt3\).
Ответы для проверки:
- \(14\);
- \(5\sqrt3\);
- \(6\sqrt2\);
- \(x=\pm0{,}6\);
- \(x=18\);
- \(4\sqrt2>3\sqrt3\), так как \(32>27\).
Если нужен разбор конкретного примера — пришли его, покажу решение по шагам.
