Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (главная идея).

Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3, поэтому

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Уравнение принимает вид

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Принцип: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Способ 2. Через дискриминант (проверка тем же ответом).

\[ D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

То есть \(x_{1}=\dfrac{6}{2}=3\), \(x_{2}=\dfrac{4}{2}=2\) — корни те же.

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Что запомнить для похожих заданий

• Если старший коэффициент равен 1 (уравнение вида \(x^{2}+px+q=0\)), удобно искать корни по теореме Виета: \(x_{1}+x_{2}=-p\), \(x_{1}x_{2}=q\).
• Здесь \(p=-5\), \(q=6\): сумма корней 5, произведение 6 — подходят 2 и 3.
• Если целых чисел подобрать не удаётся, всегда работает дискриминант: при \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.