реши с рисунком

Question

реши с рисунком

Расшифровка фото нейросетью:
Задание № 2
Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ перпендикулярна стороне $AB$, $M$ — середина стороны $AD$, прямые $BM$ и $CD$ пересекаются в точке $K$. В треугольники $ABM$ и $BCK$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно.
а) Докажите, что $MO_1 \parallel BD$.
б) Найдите площадь четырёхугольника $BO_1MO_2$, если $AB = 6$ и $AD = 10$.

Answer

Краткий ответ: а) $MO_1\parallel BD$; б) $S_{BO_1MO_2}=11{,}25$.

Рисунок и координаты. Так как $BD\perp AB$, удобно взять $AB$ за ось $x$, а $BD$ — за вертикальную прямую. Пусть
$$
A(0;0),\quad B(6;0).
$$
В прямоугольном $\triangle ABD$:
$$
BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.
$$
Поэтому можно взять
$$
D(6;8),\quad C(12;8).
$$
Тогда $M$ — середина $AD$:
$$
M(3;4).
$$
Продолжение $BM$ пересекает прямую $CD$ в точке
$$
K(0;8).
$$
Чтобы получить чертёж, отметьте эти точки и соедините $A-B-C-D-A$, $A-D$, $B-M-K$, $C-K$.

Пункт а.
В $\triangle ABD$ медиана $BM$, проведённая к гипотенузе $AD$, равна её половине:
$$
BM=\frac{AD}{2}=5.
$$
Кроме того, $AM=5$, значит $\triangle ABM$ равнобедренный с основанием $AB$. Центр вписанной окружности $O_1$ лежит на биссектрисе угла $AMB$, а в равнобедренном треугольнике эта биссектриса является высотой к $AB$. Поэтому
$$
MO_1\perp AB.
$$
Но по условию $BD\perp AB$. Следовательно,
$$
MO_1\parallel BD.
$$

Пункт б.

1. Найдём $O_1$. Площадь $\triangle ABM$:
$$
S_{\triangle ABM}=\frac12\cdot AB\cdot h=\frac12\cdot6\cdot4=12.
$$
Полупериметр:
$$
p_1=\frac{6+5+5}{2}=8.
$$
Радиус вписанной окружности:
$$
r_1=\frac{12}{8}=1{,}5.
$$
Центр лежит на оси симметрии $x=3$, поэтому
$$
O_1(3;1{,}5).
$$
Тогда
$$
O_1M=4-1{,}5=2{,}5.
$$

2. Найдём $O_2$. В $\triangle BCK$:
$$
BC=BK=10,\qquad CK=12.
$$
Его площадь:
$$
S_{\triangle BCK}=\frac12\cdot12\cdot8=48,
$$
полупериметр:
$$
p_2=\frac{10+10+12}{2}=16.
$$
Радиус:
$$
r_2=\frac{48}{16}=3.
$$
Центр лежит на оси симметрии $x=6$, на расстоянии $3$ от прямой $CK$ ($y=8$), значит
$$
O_2(6;5).
$$
Тогда
$$
O_2B=5.
$$

3. В четырёхугольнике $BO_1MO_2$ отрезки $O_1M$ и $O_2B$ вертикальны, поэтому параллельны. Это трапеция с основаниями
$$
O_1M=2{,}5,\qquad O_2B=5.
$$
Расстояние между ними равно $6-3=3$. Площадь:
$$
S_{BO_1MO_2}=\frac{2{,}5+5}{2}\cdot3=11{,}25.
$$

Проверка. Для $O_2$ расстояния до сторон $BC$ и $BK$ тоже равны $3$, значит это действительно центр вписанной окружности. Ответ $11{,}25$ можно проверить и по координатной формуле площади четырёхугольника — получается то же число.