реши 658 номер

Question

реши 658 номер

Расшифровка фото нейросетью:
658 На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$. Прямые $AE$ и $BC$ пересекаются в точке $F$. Найдите: а) $EF$ и $FC$, если $DE = 8$ см, $EC = 4$ см, $BC = 7$ см, $AE = 10$ см; б) $DE$ и $EC$, если $AB = 8$ см, $AD = 5$ см, $CF = 2$ см.

Answer

Краткий ответ:
а) $EF=5$ см, $FC=3{,}5$ см;
б) $DE=\frac{40}{7}$ см $=5\frac{5}{7}$ см, $EC=\frac{16}{7}$ см $=2\frac{2}{7}$ см.

Почему возникает подобие

В параллелограмме $AB\parallel CD$, а точка $E$ лежит на $CD$, поэтому $AB\parallel EC$. Прямые $AF$ и $EF$ — одна и та же прямая, $BF$ и $CF$ — тоже одна прямая. Значит треугольники $FEC$ и $FAB$ подобны:

$$
\triangle FEC\sim\triangle FAB,\qquad
\frac{FE}{FA}=\frac{FC}{FB}=\frac{EC}{AB}.
$$

Из расположения точек $A-E-F$ и $B-C-F$:

$$
FA=FE+AE,\qquad FB=FC+BC.
$$

а) $DE=8$, $EC=4$, $BC=7$, $AE=10$

Сначала находим сторону параллелограмма:

$$
AB=CD=DE+EC=8+4=12.
$$

Тогда

$$
\frac{FE}{FA}=\frac{EC}{AB}=\frac{4}{12}=\frac13.
$$

Так как $FA=FE+10$:

$$
\frac{FE}{FE+10}=\frac13
\Rightarrow 3FE=FE+10
\Rightarrow 2FE=10
\Rightarrow FE=5.
$$

Аналогично

$$
\frac{FC}{FC+7}=\frac13
\Rightarrow 3FC=FC+7
\Rightarrow 2FC=7
\Rightarrow FC=3{,}5.
$$

Ответ: $EF=5$ см, $FC=3{,}5$ см.

б) $AB=8$, $AD=5$, $CF=2$

В параллелограмме $CD=AB=8$, $BC=AD=5$. Поэтому

$$
FB=FC+CB=2+5=7.
$$

Из подобия:

$$
\frac{FC}{FB}=\frac{EC}{AB}
\Rightarrow \frac{2}{7}=\frac{EC}{8}.
$$

Отсюда

$$
EC=\frac{16}{7}.
$$

Тогда

$$
DE=CD-EC=8-\frac{16}{7}=\frac{56-16}{7}=\frac{40}{7}.
$$

Ответ: $DE=\frac{40}{7}$ см, $EC=\frac{16}{7}$ см.

Проверка: в пункте а) $\frac{5}{15}=\frac{3{,}5}{10{,}5}=\frac{4}{12}=\frac13$; в пункте б) $\frac{2}{7}=\frac{16/7}{8}$. Всё сходится.

реши 658 номер

Почему возникает подобие

а) \(DE=8\), \(EC=4\), \(BC=7\), \(AE=10\)

б) \(AB=8\), \(AD=5\), \(CF=2\)