Какое множество является объединением множеств A = {−5, 9, 12, 25} и B = {−7, 12, 15, 25}?

Краткий ответ: второй вариант — \(\{-6,\ 5\}\).

Почему так

Пересечение \(A \cap B\) — это только общие элементы обоих множеств: то, что есть и в \(A\), и в \(B\) одновременно.

\[ A=\{-6,\ -3,\ 5,\ 10\},\qquad B=\{-6,\ 2,\ 5,\ 14\} \]

Проверяю каждый элемент множества \(A\), есть ли он в \(B\):

• \(-6\) — есть в \(B\) ✓
• \(-3\) — в \(B\) нет ✗
• \(5\) — есть в \(B\) ✓
• \(10\) — в \(B\) нет ✗

Значит, общие элементы — только \(-6\) и \(5\):

\[ A \cap B=\{-6,\ 5\} \]

Проверка остальных вариантов

• \(\{3,\ 2,\ 10,\ 14\}\) — неверно: числа \(3\) нет ни в одном множестве, а \(10\) есть только в \(A\).
• \(\{-6,\ -3,\ 2,\ 5,\ 10,\ 14\}\) — это объединение \(A \cup B\): сюда вошло всё из обоих множеств, а для пересечения нужны только общие элементы.

Как не путать

• \(\cap\) (пересечение) — «и»: беру только то, что есть в обоих множествах.
• \(\cup\) (объединение) — «или»: беру всё, повторы убираю.

Полезная проверка: пересечение всегда «не больше» каждого из множеств, а объединение — наоборот, самое большое.

Краткий ответ: третий вариант — \(\{-2,\ 3,\ 6,\ 11\}\).

Что такое дополнение

Дополнение множества \(A\) до множества \(U\) — это всё, что есть в \(U\), но не входит в \(A\):

\[ U \setminus A = \{\,x \in U \mid x \notin A\,\} \]

Решение

\[ A=\{-1,\ 2,\ 5,\ 10\},\qquad U=\{-2,\ -1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10,\ 11\} \]

Вычёркиваю из \(U\) элементы, которые есть в \(A\): \(-1,\ 2,\ 5,\ 10\).

Остаются:

\[ U \setminus A=\{-2,\ 3,\ 6,\ 11\} \]

Проверка вариантов

• \(\{-2,\ 3,\ 5,\ 11\}\) — не подходит: в нём есть \(5\), а \(5 \in A\), то есть это не «остаток» после удаления \(A\).
• \(\{2,\ 6,\ 10,\ 11\}\) — не подходит: \(2\) и \(10\) тоже входят в \(A\).
• \(\{-2,\ 3,\ 6,\ 11\}\) — верно: все эти числа из \(U\), и ни одного из них нет в \(A\).

Быстрая проверка

Дополнение и само множество \(A\) вместе должны давать всё \(U\), а общих элементов быть не должно:

\[ \{-2,3,6,11\} \cup \{-1,2,5,10\} = U,\qquad \{-2,3,6,11\} \cap \{-1,2,5,10\} = \varnothing \]

Полезный ориентир: количество элементов дополнения равно \(|U|-|A| = 8-4 = 4\) — здесь как раз 4 числа.

Это продолжение текущей темы — задачи на множества и круги Эйлера. Задание новое, но принцип тот же: учитываем пересечения множеств.

Ответ: 59 студентов.

Решение по формуле включений-исключений

Обозначим:

• \(И\) — испанский, \(Ф\) — французский, \(Н\) — немецкий.

\[ |И|=30,\quad |Ф|=25,\quad |Н|=20 \]

Попарные пересечения:

\[ |И\cap Ф|=10,\quad |И\cap Н|=5,\quad |Ф\cap Н|=3 \]

Все три языка изучают:

\[ |И\cap Ф\cap Н|=2 \]

Так как каждый студент посещает хотя бы один кружок, ищем:

\[ |И\cup Ф\cup Н| \]

\[ |И\cup Ф\cup Н| =30+25+20-10-5-3+2 \]

\[ =75-18+2=59 \]

Проверка по областям кругов Эйлера

• только испанский и французский: \(10-2=8\)
• только испанский и немецкий: \(5-2=3\)
• только французский и немецкий: \(3-2=1\)
• только испанский: \(30-8-3-2=17\)
• только французский: \(25-8-1-2=14\)
• только немецкий: \(20-3-1-2=14\)
• все три языка: \(2\)

Складываем:

\[ 17+14+14+8+3+1+2=59 \]

В поле ответа нужно записать 59.

Ответ:

1. Первый вариант: \(\{4,3\}\cup\{1,7\}\)
2. Третий вариант: \(\{5,9\}\cap\{2,4\}\)

Почему так

Задание проверяет переместительный (коммутативный) закон для операций над множествами:

\[ A\cup B=B\cup A,\qquad A\cap B=B\cap A \]

Результат не зависит от того, в каком порядке стоят множества.

Задание 1

\[ \{1,7\}\cup\{4,3\}=\{1,3,4,7\} \]

А во втором и третьем вариантах стоит знак \(\cap\) (пересечение), то есть ищут общее — его тут нет, получился бы \(\varnothing\). Значит, подходит только:

\[ \{4,3\}\cup\{1,7\} \]

(Порядок чисел внутри множества тоже не важен: \(\{4,3\}=\{3,4\}\).)

Задание 2

\[ \{2,4\}\cap\{5,9\}=\varnothing \]

Общих чисел нет. Первые два варианта содержат \(\cup\), они дали бы \(\{2,4,5,9\}\) — это неверно. Остаётся третий вариант, и по переместительному закону он равен исходному:

\[ \{5,9\}\cap\{2,4\}=\varnothing \]

Как не путать

• \(\cup\) — «или»: все элементы, дубли убираем.
• \(\cap\) — «и»: только общие элементы.
• Менять местами множества можно в обеих операциях, а вот \(\cup\) на \(\cap\) заменять нельзя — это уже другое выражение.

Ответ:

1. Третий вариант: \(\{2,7\}\cup(\{4,9\}\cup\{5,9\})\)
2. Первый вариант: \(\{7,6\}\cap(\{2,1\}\cap\{1,3\})\)

Почему так

Здесь работает сочетательный (ассоциативный) закон:

\[ (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),\qquad (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C) \]

Скобки можно расставлять по-разному — значение не изменится. А вот менять \(\cup\) на \(\cap\) нельзя: это уже другая операция и, как правило, другой результат.

Задание 1

Считаю значения вариантов:

\[ (\{2,7\}\cap\{4,9\})\cap\{5,9\}=\varnothing\cap\{5,9\}=\varnothing \]

\[ \{2,7\}\cap(\{4,9\}\cap\{5,9\})=\{2,7\}\cap\{9\}=\varnothing \]

\[ \{2,7\}\cup(\{4,9\}\cup\{5,9\})=\{2,7\}\cup\{4,5,9\}=\{2,4,5,7,9\} \]

Цепочка с объединением даёт \(\{2,4,5,7,9\}\), а варианты с пересечением — пустое множество. Значит, равным исходному (цепочке объединений) будет только третий вариант.

Задание 2

\[ (\{7,6\}\cap\{2,1\})\cap\{1,3\}=\varnothing\cap\{1,3\}=\varnothing \]

Проверяю варианты:

\[ \{7,6\}\cap(\{2,1\}\cap\{1,3\})=\{7,6\}\cap\{1\}=\varnothing \quad ✓ \]

\[ (\{7,6\}\cup\{2,1\})\cup\{1,3\}=\{7,6,2,1,3\}\quad ✗ \]

\[ \{7,6\}\cup(\{2,1\}\cup\{1,3\})=\{7,6,1,2,3\}\quad ✗ \]

Перегруппировка с \(\cap\) сохранила пустое множество, а объединения дают 5 чисел — они не равны.

Важное замечание: верхняя строка первого задания немного обрезана на фото. Если там стоят знаки \(\cap\) (а не \(\cup\)), то верными будут первые два варианта, ведь оба они дают \(\varnothing\). Сверь, пожалуйста, знак в исходном выражении — и я подтвержу ответ.

Это продолжение текущей темы — операции над множествами (раскрытие скобок по законам множеств). Задание новое, но принцип тот же.

Ответ: третий вариант — \( (\{5,7\}\cap\{5,9\})\cup(\{3,9\}\cap\{5,9\}) \).

Почему так

Сначала посчитаем само выражение:

\[ \{5,7\}\cup\{3,9\}=\{3,5,7,9\} \]

\[ \{3,5,7,9\}\cap\{5,9\}=\{5,9\} \]

Теперь смотрим на структуру: у нас \( (A\cup B)\cap C \), где \(A=\{5,7\}\), \(B=\{3,9\}\), \(C=\{5,9\}\). Здесь работает распределительный закон пересечения относительно объединения:

\[ (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C) \]

Именно эта запись и стоит в третьем варианте:

\[ (\{5,7\}\cap\{5,9\})\cup(\{3,9\}\cap\{5,9\})=\{5\}\cup\{9\}=\{5,9\} \]

Совпало с исходным — верно.

Проверка всех вариантов

1. \((\{5,7\}\cap\{5,9\})\cap(\{3,9\}\cap\{5,9\})=\{5\}\cap\{9\}=\varnothing\) — не подходит.
2. \((\{5,7\}\cup\{5,9\})\cap(\{3,9\}\cup\{5,9\})=\{5,7,9\}\cap\{3,5,9\}=\{5,9\}\) — численно тоже даёт \(\{5,9\}\), но это не раскрытие скобок по закону, а другая формула. Здесь проверяют именно закон, так что выбирай третий вариант.
3. \((\{5,7\}\cap\{5,9\})\cup(\{3,9\}\cap\{5,9\})=\{5\}\cup\{9\}=\{5,9\}\) ✓
4. \((\{5,7\}\cup\{5,9\})\cup(\{3,9\}\cup\{5,9\})=\{3,5,7,9\}\) — лишние \(3\) и \(7\), не подходит.

Как узнавать такие задания

• Скобка с \(\cup\) умножается на множество через \(\cap\) — каждый элемент «внутренней» скобки пересекается с внешним множеством, а между собой результаты соединяются тем же знаком, что был внутри: \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\).
• Аналогично \((A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)\).
• Если просто заменить все \(\cup\) на \(\cap\) или наоборот — это ошибка, выражения почти всегда разные.