8. Решите уравнение: 1) √((2x+3)(x-4)) = x-4
Реши задание на изображении
Ответ: \(x=4\).
Главная идея. Уравнение \(\sqrt{A}=B\) равносильно условиям \[ B\ge0 \quad\text{и}\quad A=B^2. \] Первое условие обязательно: слева стоит арифметический корень, он неотрицателен, значит, и \(B\) не может быть отрицательным. Если возводить в квадрат без этого условия, могут появиться лишние корни.
Шаги решения.
Правая часть неотрицательна: \[ x-4\ge0 \iff x\ge4. \] При \(x\ge4\) множитель \(2x+3>0\), поэтому подкоренное произведение \((2x+3)(x-4)\) неотрицательно автоматически — ограничение корня выполнено.
Возводим обе части в квадрат: \[ (2x+3)(x-4)=(x-4)^2. \]
Не раскрываем скобки, а переносим и выносим общий множитель (делить на \(x-4\) нельзя — потеряем корень \(x=4\)): \[ (2x+3)(x-4)-(x-4)^2=0, \] \[ (x-4)\bigl((2x+3)-(x-4)\bigr)=0, \] \[ (x-4)(x+7)=0. \] Отсюда \(x=4\) или \(x=-7\).
Отбор по условию \(x\ge4\): подходит только \(x=4\). Корень \(x=-7\) лишний: подкоренное выражение там положительно, но правая часть \(x-4=-11<0\), а значение корня отрицательным быть не может.
Проверка. При \(x=4\): \[ \sqrt{(2\cdot4+3)(4-4)}=\sqrt{11\cdot0}=0,\qquad 4-4=0. \] Равенство верно (под корнем ноль — это допустимо).
Что запомнить. Схема \(\sqrt{A}=B \iff B\ge0,\ A=B^2\); общий множитель лучше выносить, чем раскрывать скобки; корни, не прошедшие условие \(B\ge0\), отбрасываются.
Обсуждение
2 сообщения№ 11.8(1) уже решён: \(x=4\). Остальные уравнения с этого листа:
\(\sqrt{(x-2)(2x-5)}+2=x\).
\(\sqrt{(x-2)(2x-5)}=x-2\), поэтому \(x\ge2\). После квадрата: \[ (x-2)(2x-5)=(x-2)^2 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x-3)=0. \] Корни \(2\) и \(3\) оба подходят. Ответ: \(2;\ 3\).\(\sqrt{2x^2+5x+4}=2x+2\).
Нужно \(2x+2\ge0\), то есть \(x\ge-1\). Квадрат: \[ 2x^2+5x+4=4x^2+8x+4 \quad\Rightarrow\quad x(2x+3)=0. \] Корни \(0\) и \(-\frac32\); второй не подходит, так как \(2x+2=-1<0\). Ответ: \(0\).\(\sqrt{(3x-1)(4x+3)}=3x-1\).
\(x\ge\frac13\). Квадрат: \[ (3x-1)(4x+3)=(3x-1)^2 \quad\Rightarrow\quad (3x-1)(x+4)=0. \] Корни \(\frac13\) и \(-4\); второй отбрасываем: при \(x=-4\) правая часть отрицательна. Ответ: \(\frac13\).\((x-1)\sqrt{x^2-3x-3}=5x-5\).
Перепишем: \[ (x-1)\bigl(\sqrt{x^2-3x-3}-5\bigr)=0. \] При \(x=1\) под корнем \(1-3-3=-5<0\), поэтому \(x=1\) не решение. Остаётся \(\sqrt{x^2-3x-3}=5\), откуда \[ x^2-3x-3=25 \quad\Rightarrow\quad x^2-3x-28=0, \] то есть \(x=-4\) или \(x=7\). Оба проходят ОДЗ. Ответ: \(-4;\ 7\).\((x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6x+12\).
\[ (x+2)\bigl(\sqrt{x^2-x-20}-6\bigr)=0. \] При \(x=-2\) под корнем \(4+2-20=-14<0\), не подходит. Тогда \(\sqrt{x^2-x-20}=6\), откуда \[ x^2-x-20=36 \quad\Rightarrow\quad x^2-x-56=0, \] то есть \(x=-7\) или \(x=8\). Ответ: \(-7;\ 8\).\((x+1)\sqrt{x^2-5x+5}=x+1\).
\[ (x+1)\bigl(\sqrt{x^2-5x+5}-1\bigr)=0. \] При \(x=-1\) под корнем \(1+5+5=11>0\), обе части равны нулю, значит \(x=-1\) подходит. Далее \(\sqrt{x^2-5x+5}=1\): \[ x^2-5x+5=1 \quad\Rightarrow\quad x^2-5x+4=0, \] то есть \(x=1\) или \(x=4\). Ответ: \(-1;\ 1;\ 4\).
Главное правило. Для \(\sqrt{A}=B\) нужно \[ B\ge0,\qquad A=B^2. \] После возведения в квадрат лишние корни отбрасываем по условию \(B\ge0\). В уравнениях с множителем \((x-a)\) нельзя сразу делить на него: сначала проверяем \(x=a\) по ОДЗ подкоренного выражения, потом рассматриваем второй множитель.
