Решить подробно

Краткие ответы: \[ 1)\ \{4\};\quad 2)\ \{2;3\};\quad 3)\ \{-7;8\};\quad 4)\ \{-1;1;4\}. \]

Общий принцип. Для уравнения \(\sqrt{A}=B\) нужно \(B\ge0\). После возведения в квадрат могут появиться лишние корни, поэтому найденные значения проверяем. Если перед корнем есть общий множитель, лучше разложить на множители, а не делить — иначе можно потерять корень.

1) \[ \sqrt{(2x+3)(x-4)}=x-4. \] Правая часть неотрицательна: \[ x-4\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge4. \] При таких \(x\) подкоренное выражение тоже неотрицательно. Возводим в квадрат: \[ (2x+3)(x-4)=(x-4)^2. \] Переносим: \[ (x-4)\bigl((2x+3)-(x-4)\bigr)=0, \] \[ (x-4)(x+7)=0. \] Кандидаты: \(x=4\) и \(x=-7\). Условию \(x\ge4\) удовлетворяет только \(x=4\). Значение \(x=-7\) даёт отрицательную правую часть, поэтому не подходит.

Ответ: \(x=4\).

2) \[ \sqrt{(x-2)(2x-5)}+2=x. \] Переносим \(2\): \[ \sqrt{(x-2)(2x-5)}=x-2. \] Значит, \(x-2\ge0\), то есть \(x\ge2\). Подкоренное выражение неотрицательно при \[ x\le2 \quad\text{или}\quad x\ge\frac52. \] Вместе с \(x\ge2\) получаем: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x\ge\frac52. \] Возводим в квадрат: \[ (x-2)(2x-5)=(x-2)^2, \] \[ (x-2)\bigl((2x-5)-(x-2)\bigr)=0, \] \[ (x-2)(x-3)=0. \] Кандидаты \(x=2\) и \(x=3\), оба входят в ОДЗ.

Проверка:

• \(x=2:\ \sqrt0+2=2\);
• \(x=3:\ \sqrt1+2=3\).

Ответ: \(x=2;\ 3\).

3) \[ (x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6x+12. \] Так как \(6x+12=6(x+2)\), уравнение можно переписать: \[ (x+2)\left(\sqrt{x^2-x-20}-6\right)=0. \] ОДЗ: \[ x^2-x-20=(x-5)(x+4)\ge0, \] \[ x\le-4 \quad\text{или}\quad x\ge5. \]

Первая возможность: \[ x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2. \] Но при \(x=-2\): \[ (-2)^2-(-2)-20=4+2-20=-14<0, \] поэтому \(x=-2\) не подходит.

Вторая возможность: \[ \sqrt{x^2-x-20}=6. \] Возводим в квадрат: \[ x^2-x-20=36, \] \[ x^2-x-56=0, \] \[ (x-8)(x+7)=0. \] Получаем \(x=8\) и \(x=-7\). Оба значения входят в ОДЗ.

Проверка:

• \(x=-7\): \((-5)\cdot6=-30\), справа \(-42+12=-30\);
• \(x=8\): \(10\cdot6=60\), справа \(48+12=60\).

Ответ: \(x=-7;\ 8\).

4) \[ (x+1)\sqrt{x^2-5x+5}=x+1. \] Перепишем: \[ (x+1)\left(\sqrt{x^2-5x+5}-1\right)=0. \] ОДЗ: \[ x^2-5x+5\ge0. \] Корни уравнения \(x^2-5x+5=0\): \[ x=\frac{5\pm\sqrt5}{2}. \] Поэтому \[ x\le\frac{5-\sqrt5}{2} \quad\text{или}\quad x\ge\frac{5+\sqrt5}{2}. \]

Первый случай: \[ x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1. \] При \(x=-1\) подкоренное выражение: \[ 1+5+5=11>0, \] значит, \(x=-1\) подходит.

Второй случай: \[ \sqrt{x^2-5x+5}=1. \] Возводим в квадрат: \[ x^2-5x+5=1, \] \[ x^2-5x+4=0, \] \[ (x-1)(x-4)=0. \] Получаем \(x=1\) и \(x=4\). Оба значения входят в ОДЗ.

Проверка:

• \(x=-1:\ 0=0\);
• \(x=1:\ 2\cdot1=2\);
• \(x=4:\ 5\cdot1=5\).

Ответ: \(x=-1;\ 1;\ 4\).