Реши задание на изображении
Ответ: \(S=42\).
Пусть долг в июле 2027 года равен \(S\) млн рублей.
Каждый январь долг увеличивается на \(5\%\), то есть умножается на \(1{,}05\). Затем с февраля по июнь вносится платёж, после чего к июлю долг должен стать указанным в таблице.
| Год | Долг после начисления процентов в январе | Долг к июлю | Выплата |
|---|---|---|---|
| 2028 | \(1{,}05S\) | \(0{,}8S\) | \(1{,}05S-0{,}8S=0{,}25S\) |
| 2029 | \(1{,}05\cdot0{,}8S=0{,}84S\) | \(0{,}3S\) | \(0{,}84S-0{,}3S=0{,}54S\) |
| 2030 | \(1{,}05\cdot0{,}3S=0{,}315S\) | \(0\) | \(0{,}315S\) |
Каждая выплата должна быть меньше \(23\) млн рублей:
\[ 0{,}25S<23,\qquad 0{,}54S<23,\qquad 0{,}315S<23. \]
Самое сильное ограничение даёт вторая выплата:
\[ 0{,}54S<23 \]
\[ S<\frac{23}{0{,}54}\approx 42{,}59. \]
Поскольку \(S\) — целое число, наибольшее возможное значение:
\[ S=42. \]
Проверка при \(S=42\):
\[ 0{,}25\cdot42=10{,}5<23, \]
\[ 0{,}54\cdot42=22{,}68<23, \]
\[ 0{,}315\cdot42=13{,}23<23. \]
При \(S=43\) вторая выплата уже равна
\[ 0{,}54\cdot43=23{,}22>23, \]
поэтому \(43\) не подходит.
Следовательно, наибольшее значение \(S=42\) млн рублей.
Обсуждение
6 сообщенийА ты можешь перевернуть таблицу на 90 градусов?
Да, могу. Вот та же таблица, повёрнутая на 90° — строки стали столбцами:
| Год | Месяц | Долг, млн рублей |
|---|---|---|
| 2027 | июль | \(S\) |
| 2028 | июль | \(0{,}8S\) |
| 2029 | июль | \(0{,}3S\) |
| 2030 | июль | \(0\) |
Содержание таблицы не изменилось: долг в июле 2027 года равен \(S\), и именно для него мы нашли наибольшее целое значение \(S=42\).
В давай через переменные S и x
Давай обозначим:
- \(S\) — сумма кредита в июле 2027 года (целое число млн рублей);
- \(x\) — платёж в 2028 году (млн рублей).
Тогда все остальные платежи можно выразить через \(x\).
1. 2028 год
В январе долг станет \(1{,}05S\). После выплаты \(x\) останется \(0{,}8S\):
\[ 1{,}05S-x=0{,}8S \]
\[ x=0{,}25S \]
Значит,
\[ S=4x. \]
2. 2029 год
Долг в январе:
\[ 1{,}05\cdot0{,}8S=0{,}84S=0{,}84\cdot4x=3{,}36x. \]
После выплаты должен остаться \(0{,}3S=0{,}3\cdot4x=1{,}2x\). Обозначим платёж 2029 года через \(y\):
\[ 3{,}36x-y=1{,}2x \]
\[ y=2{,}16x. \]
3. 2030 год
Долг в январе:
\[ 1{,}05\cdot0{,}3S=0{,}315S=0{,}315\cdot4x=1{,}26x. \]
После последней выплаты \(z\) долг равен нулю:
\[ 1{,}26x-z=0 \]
\[ z=1{,}26x. \]
Теперь условие «каждая выплата меньше \(23\) млн рублей»:
\[ x<23, \]
\[ 2{,}16x<23, \]
\[ 1{,}26x<23. \]
Самое сильное ограничение — второе:
\[ 2{,}16x<23 \]
\[ x<\frac{23}{2{,}16}=\frac{575}{54}\approx10{,}648. \]
Так как \(S=4x\), получаем:
\[ S<4\cdot\frac{575}{54}=\frac{1150}{27}\approx42{,}59. \]
Но \(S\) — целое число, поэтому
\[ S\le42. \]
Проверка при \(S=42\):
\[ x=0{,}25\cdot42=10{,}5; \]
\[ y=2{,}16\cdot10{,}5=22{,}68<23; \]
\[ z=1{,}26\cdot10{,}5=13{,}23<23. \]
Все выплаты меньше \(23\) млн рублей.
Ответ: \(S=42\).
А таблица?
Вот та же таблица, но выплаты выражены через \(S\) и \(x\) (напомню: \(S=4x\)):
| Год | Долг в январе после начисления \(5\%\) | Долг к июлю | Выплата (февраль — июнь) |
|---|---|---|---|
| 2028 | \(1{,}05S=4{,}2x\) | \(0{,}8S=3{,}2x\) | \(0{,}25S=x\) |
| 2029 | \(1{,}05\cdot0{,}8S=0{,}84S=3{,}36x\) | \(0{,}3S=1{,}2x\) | \(0{,}84S-0{,}3S=0{,}54S=2{,}16x\) |
| 2030 | \(1{,}05\cdot0{,}3S=0{,}315S=1{,}26x\) | \(0\) | \(0{,}315S=1{,}26x\) |
Как читать столбцы:
- январский долг — это долг к июлю прошлого года, увеличенный на \(5\%\), то есть умноженный на \(1{,}05\);
- долг к июлю — значение из условия задачи;
- выплата — разность этих двух величин (в 2030 году июльский долг равен нулю, поэтому выплата равна всему январскому долгу).
Теперь видно, что все три выплаты — это \(x\), \(2{,}16x\) и \(1{,}26x\). Самая большая из них — вторая, поэтому именно она даёт ограничение:
\[ 2{,}16x<23 \;\Rightarrow\; x<\frac{575}{54}\approx10{,}648. \]
Так как \(S=4x\):
\[ S<4\cdot10{,}648\approx42{,}59. \]
\(S\) — целое, значит, \(S\le42\). При \(S=42\) выплаты равны \(10{,}5\); \(22{,}68\); \(13{,}23\) млн рублей — все меньше \(23\).
Ответ: \(S=42\).
