1. Дано: AB = CD, ∠1 = ∠2, E — середина AC, BE = 10 см (рис. 2.32). 2. Известно, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, причем ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁.

Краткий ответ:

1. \(DE=10\) см.
2. \(\triangle CBD\cong\triangle C_1B_1D_1\).

1. Как найти \(DE\)

Так как \(E\) — середина \(AC\), то

\[ AE=EC. \]

Рассмотрим треугольники \(ABE\) и \(CDE\):

• \(AB=CD\) — по условию;
• \(AE=CE\) — так как \(E\) середина \(AC\);
• \(\angle BAE=\angle DCE\) — это \(\angle1\) и \(\angle2\) по рисунку.

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними:

\[ \triangle ABE\cong\triangle CDE. \]

В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому

\[ BE=DE. \]

По условию \(BE=10\) см, значит:

\[ \boxed{DE=10\text{ см}}. \]

2. Доказательство равенства треугольников

Из равенства треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) следует:

\[ BC=B_1C_1, \qquad \angle BCA=\angle B_1C_1A_1. \]

Угол \(C\) также равен углу \(C_1\); это можно получить и из суммы углов, так как \(\angle A=\angle A_1\) и \(\angle B=\angle B_1\).

Точки \(D\) и \(D_1\) лежат на сторонах \(AC\) и \(A_1C_1\), поэтому

\[ \angle BCD=\angle BCA, \qquad \angle B_1C_1D_1=\angle B_1C_1A_1. \]

Следовательно,

\[ \angle BCD=\angle B_1C_1D_1. \]

Теперь в треугольниках \(CBD\) и \(C_1B_1D_1\):

\[ BC=B_1C_1, \] \[ CD=C_1D_1 \quad \text{по условию}, \] \[ \angle BCD=\angle B_1C_1D_1. \]

Это две стороны и угол между ними, значит:

\[ \boxed{\triangle CBD\cong\triangle C_1B_1D_1}. \]