Реши и объяснить
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите систему уравнений: а) \(x+y=8,\ xy=-20;\) б) \(x-y=0,8,\ xy=2,4;\) в) \(x^2-y^2=8,\ x-y=4;\) г) \(x^2+y^2=5,\ x+y=-3.\)
- Решите систему уравнений: а) \(y-2x=2,\ 5x^2-y=1;\) б) \(x^2-3y^2=52,\ y-x=14;\) в) \(3x^2+2y^2=11,\ x+2y=3.\)
На фото видно два номера — 432 и 433. Ниже я разобрал все системы, которые читаются.
Краткие ответы
432.
а) \((10;-2),(-2;10)\);
б) \((2;1{,}2),(-1{,}2;-2)\);
в) \((3;-1)\);
г) \((-1;-2),(-2;-1)\).
433.
а) \((1;4),\left(-\frac35;\frac45\right)\);
б) \((-10;4),(-32;-18)\);
в) \((-1;2),\left(\frac{13}{7};\frac47\right)\).
432
а)
\[ x+y=8,\quad xy=-20 \] Если известны сумма и произведение \(x\) и \(y\), то они являются корнями уравнения \[ t^2-8t-20=0. \] Его корни: \(10\) и \(-2\). Значит, переменные можно поменять местами: \[ (10;-2),\ (-2;10). \]
б)
\[ x-y=0{,}8,\quad xy=2{,}4 \] Выражаю \(x=y+0{,}8\) и подставляю: \[ (y+0{,}8)y=2{,}4. \] \[ 5y^2+4y-12=0,\quad D=256. \] Отсюда \(y=1{,}2\) или \(y=-2\). Тогда \(x=2\) или \(x=-1{,}2\): \[ (2;1{,}2),\ (-1{,}2;-2). \]
в)
\[ x^2-y^2=8,\quad x-y=4 \] Применяю формулу разности квадратов: \[ (x-y)(x+y)=8. \] Так как \(x-y=4\), получаем \(x+y=2\). Решаю систему \[ x-y=4,\quad x+y=2. \] Отсюда \(x=3,\ y=-1\): \[ (3;-1). \]
г)
\[ x^2+y^2=5,\quad x+y=-3 \] Возвожу второе уравнение в квадрат: \[ (x+y)^2=9. \] Но \[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \] Значит, \[ 9=5+2xy \Rightarrow xy=2. \] Теперь \(x\) и \(y\) — корни уравнения \[ t^2+3t+2=0. \] Корни: \(-1\) и \(-2\). Поэтому \[ (-1;-2),\ (-2;-1). \]
433
а)
\[ y-2x=2,\quad 5x^2-y=1 \] Из первого уравнения \(y=2x+2\). Подставляю: \[ 5x^2-(2x+2)=1, \] \[ 5x^2-2x-3=0. \] Корни: \[ x=1,\quad x=-\frac35. \] Тогда \(y=4\) или \(y=\frac45\): \[ (1;4),\ \left(-\frac35;\frac45\right). \]
б)
\[ x^2-3y^2=52,\quad y-x=14 \] Из второго уравнения \(y=x+14\). Подставляю: \[ x^2-3(x+14)^2=52. \] \[ x^2-3(x^2+28x+196)=52, \] \[ -2x^2-84x-640=0, \] \[ x^2+42x+320=0. \] Дискриминант: \[ D=1764-1280=484=22^2. \] \[ x=-10\quad\text{или}\quad x=-32. \] Тогда \(y=4\) или \(y=-18\): \[ (-10;4),\ (-32;-18). \]
в)
\[ 3x^2+2y^2=11,\quad x+2y=3 \] Выражаю \(x=3-2y\): \[ 3(3-2y)^2+2y^2=11. \] \[ 3(9-12y+4y^2)+2y^2=11, \] \[ 14y^2-36y+16=0, \] \[ 7y^2-18y+8=0. \] \[ D=324-224=100. \] \[ y=2\quad\text{или}\quad y=\frac47. \] Тогда \[ x=-1\quad\text{или}\quad x=\frac{13}{7}. \] Ответ: \[ (-1;2),\ \left(\frac{13}{7};\frac47\right). \]
Главный принцип
Если в системе есть линейное уравнение, удобно выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение. Если даны сумма и произведение, быстрее работает теорема Виета. Все найденные пары я проверил подстановкой в исходные системы — они подходят.
Обсуждение
2 сообщенияРешите объяснить
На фото несколько номеров. Ниже полностью решаю № 432; если нужен № 433 или 434, напиши.
432, а)
\[ \begin{cases} x+y=8,\\ xy=-20. \end{cases} \]
По теореме Виета \(x\) и \(y\) — корни уравнения \[ t^2-8t-20=0. \] \[ D=64+80=144,\qquad t_{1,2}=\frac{8\pm12}{2}. \] Значит, \(t_1=10,\ t_2=-2\).
Ответ: \((10;-2)\), \((-2;10)\).
432, б)
\[ \begin{cases} x-y=0{,}8,\\ xy=2{,}4. \end{cases} \]
Выразим \(x=y+0{,}8\) и подставим: \[ (y+0{,}8)y=2{,}4, \] \[ y^2+0{,}8y-2{,}4=0. \] Умножим на 5: \[ 5y^2+4y-12=0. \] \[ D=16+240=256,\qquad y=\frac{-4\pm16}{10}. \] Отсюда \(y_1=1{,}2,\ y_2=-2\).
Тогда:
- при \(y=1{,}2\): \(x=1{,}2+0{,}8=2\);
- при \(y=-2\): \(x=-2+0{,}8=-1{,}2\).
Ответ: \((2;1{,}2)\), \((-1{,}2;-2)\).
432, в)
\[ \begin{cases} x^2-y^2=8,\\ x-y=4. \end{cases} \]
Разложим разность квадратов: \[ (x-y)(x+y)=8. \] Так как \(x-y=4\), то \[ 4(x+y)=8 \quad\Rightarrow\quad x+y=2. \] Получили простую систему: \[ \begin{cases} x-y=4,\\ x+y=2. \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3. \] Тогда \(3-y=4\), значит, \(y=-1\).
Ответ: \((3;-1)\).
432, г)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x+y=-3. \end{cases} \]
Из второго уравнения: \[ y=-3-x. \] Подставим в первое: \[ x^2+(-3-x)^2=5. \] \[ x^2+x^2+6x+9=5, \] \[ 2x^2+6x+4=0, \] \[ x^2+3x+2=0. \] Корни: \[ x_1=-1,\qquad x_2=-2. \]
Если \(x=-1\), то \(y=-3-(-1)=-2\).
Если \(x=-2\), то \(y=-3-(-2)=-1\).
Ответ: \((-1;-2)\), \((-2;-1)\).
Общий принцип: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем во второе уравнение. В пунктах, где даны сумма и произведение, удобно использовать теорему Виета.
