Решить и объяснить

432

а)
\[ \begin{cases} x+y=8,\\ xy=-20. \end{cases} \] По теореме Виета \(x\) и \(y\) — корни уравнения \[ t^2-8t-20=0. \] \[ D=64+80=144,\qquad t_{1,2}=\frac{8\pm12}{2}. \] Корни: \(10\) и \(-2\).

Ответ: \((10;-2),\;(-2;10)\).

б)
\[ \begin{cases} x-y=0{,}8,\\ xy=2{,}4. \end{cases} \] Из первого уравнения: \[ x=y+0{,}8. \] Подставляем во второе: \[ (y+0{,}8)y=2{,}4, \] \[ y^2+0{,}8y-2{,}4=0. \] Умножим на \(5\): \[ 5y^2+4y-12=0, \] \[ D=16+240=256, \] \[ y=\frac{-4\pm16}{10}. \] Значит, \(y=1{,}2\) или \(y=-2\). Тогда: \[ x=1{,}2+0{,}8=2 \] или \[ x=-2+0{,}8=-1{,}2. \]

Ответ: \((2;1{,}2),\;(-1{,}2;-2)\).

в)
\[ \begin{cases} x^2-y^2=8,\\ x-y=4. \end{cases} \] Разложим разность квадратов: \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \] Тогда: \[ 4(x+y)=8, \] \[ x+y=2. \] Получаем систему: \[ \begin{cases} x+y=2,\\ x-y=4. \end{cases} \] Складываем уравнения: \[ 2x=6,\qquad x=3. \] Тогда: \[ 3+y=2,\qquad y=-1. \]

Ответ: \((3;-1)\).

г)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x+y=-3. \end{cases} \] Возведём второе уравнение в квадрат: \[ (x+y)^2=9. \] Но \[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \] Значит, \[ 9=5+2xy, \] \[ 2xy=4,\qquad xy=2. \] Теперь \(x\) и \(y\) — корни уравнения \[ t^2+3t+2=0. \] \[ t_1=-1,\qquad t_2=-2. \]

Ответ: \((-1;-2),\;(-2;-1)\).

На фото видны номера 431–433. № 434 обрезан, поэтому по этому снимку его не решить.
Общий приём: если известны сумма и произведение чисел \(x\) и \(y\), они являются корнями уравнения \(t^2-St+P=0\). В остальных случаях выражаю одну переменную из линейного уравнения и подставляю во второе.

431

а)
\[ x=y+3,\qquad (y+3)y=-2 \] \[ y^2+3y+2=0 \Rightarrow y=-1,\,-2 \] \[ x=2,\,1 \] Ответ: \((2;-1)\), \((1;-2)\).

б)
\[ x+y=2{,}5,\qquad xy=1{,}5 \] Числа \(x,y\) — корни уравнения \[ t^2-2{,}5t+1{,}5=0. \] \[ 2t^2-5t+3=0,\quad D=1 \] \[ t=\frac{5\pm1}{4}=1{,}5;\ 1 \] Ответ: \((1{,}5;1)\), \((1;1{,}5)\).

в)
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \] Поэтому \[ 1=1+2xy \Rightarrow xy=0. \] При \(x+y=-1\), \(xy=0\) получаем \(x,y\) — корни \(t^2+t=0\): \[ t=0,\,-1. \] Ответ: \((0;-1)\), \((-1;0)\).

г)
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y)=2(x+y)=17 \] \[ x+y=8{,}5 \] Тогда \[ x=\frac{8{,}5+2}{2}=5{,}25=\frac{21}{4}, \] \[ y=\frac{8{,}5-2}{2}=3{,}25=\frac{13}{4}. \] Ответ: \(\left(\frac{21}{4};\frac{13}{4}\right)\).

432

а)
\[ x+y=8,\qquad xy=-20 \] \[ t^2-8t-20=0 \] \[ D=64+80=144,\quad t=\frac{8\pm12}{2}=10;\,-2. \] Ответ: \((10;-2)\), \((-2;10)\).

б)
\[ x=y+0{,}8,\qquad (y+0{,}8)y=2{,}4 \] \[ y^2+0{,}8y-2{,}4=0 \] Умножим на 5: \[ 5y^2+4y-12=0 \] \[ D=16+240=256,\quad y=\frac{-4\pm16}{10}=1{,}2;\,-2. \] Тогда \(x=2\) или \(x=-1{,}2\).
Ответ: \((2;1{,}2)\), \((-1{,}2;-2)\).

в)
\[ x^2-y^2=8,\qquad x-y=4 \] \[ (x-y)(x+y)=8 \Rightarrow 4(x+y)=8 \Rightarrow x+y=2. \] Решая вместе с \(x-y=4\): \[ x=3,\qquad y=-1. \] Ответ: \((3;-1)\).

г)
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \] \[ 9=5+2xy \Rightarrow xy=2. \] При \(x+y=-3\), \(xy=2\): \[ t^2+3t+2=0 \Rightarrow t=-1,\,-2. \] Ответ: \((-1;-2)\), \((-2;-1)\).

433

а)
\[ y=2x+2 \] Подставляем: \[ 5x^2-(2x+2)=1 \] \[ 5x^2-2x-3=0 \] \[ D=4+60=64,\quad x=\frac{2\pm8}{10}=1;\,-\frac35. \] Тогда \[ y=4;\quad y=\frac45. \] Ответ: \((1;4)\), \(\left(-\frac35;\frac45\right)\).

б)
\[ x=2y^2+2 \] \[ 3(2y^2+2)+y=7 \] \[ 6y^2+y-1=0 \] \[ D=1+24=25,\quad y=\frac{-1\pm5}{12}=\frac13;\,-\frac12. \] Тогда \[ x=2\cdot\frac19+2=\frac{20}{9}, \] или \[ x=2\cdot\frac14+2=\frac52. \] Ответ: \(\left(\frac{20}{9};\frac13\right)\), \(\left(\frac52;-\frac12\right)\).

в)
\[ y=x+14 \] \[ x^2-3(x+14)^2=52 \] \[ x^2-3x^2-84x-588=52 \] \[ -2x^2-84x-640=0 \] \[ x^2+42x+320=0 \] \[ D=1764-1280=484,\quad x=\frac{-42\pm22}{2}=-10;\,-32. \] Тогда \[ y=4;\quad y=-18. \] Ответ: \((-10;4)\), \((-32;-18)\).

г)
\[ x=3-2y \] \[ 3(3-2y)^2+2y^2=11 \] \[ 27-36y+14y^2=11 \] \[ 14y^2-36y+16=0 \] \[ 7y^2-18y+8=0 \] \[ D=324-224=100,\quad y=\frac{18\pm10}{14}=2;\,\frac47. \] Тогда \[ x=-1;\quad x=3-\frac87=\frac{13}{7}. \] Ответ: \((-1;2)\), \(\left(\frac{13}{7};\frac47\right)\).

Если нужен № 434, пришли его отдельным фото — он обрезан.