397—400. Найти значения всех тригонометрических функций, если известно:

На фото № 396 уже разобран, поэтому решаю следующие задания — 397–400.

Как это получать

Нужно определить четверть — от неё зависят знаки:
в I четверти все функции положительны; во II \(\sin x>0\), а \(\cos x,\operatorname{tg}x,\operatorname{ctg}x<0\); в IV \(\cos x>0\), а \(\sin x,\operatorname{tg}x,\operatorname{ctg}x<0\).

Используем основные тождества:

\[ \sin^2x+\cos^2x=1,\qquad 1+\operatorname{tg}^2x=\frac1{\cos^2x},\qquad 1+\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}. \]

397. \(\cos x=-0{,}8=-\frac45\), угол во II четверти, значит \(\sin x>0\).

\[ \sin x=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35. \]

Тогда

\[ \operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34, \qquad \operatorname{ctg}x=-\frac43. \]

398. \(\operatorname{ctg}x=\frac5{12}\), угол в I четверти, все значения положительны.

\[ 1+\operatorname{ctg}^2x =1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}. \]

Поэтому \(\sin^2x=\frac{144}{169}\), откуда

\[ \sin x=\frac{12}{13}. \]

Далее

\[ \cos x=\operatorname{ctg}x\cdot\sin x =\frac5{12}\cdot\frac{12}{13}=\frac5{13}, \qquad \operatorname{tg}x=\frac{12}{5}. \]

399. \(\operatorname{tg}x=-\frac43\), угол во II четверти, поэтому \(\cos x<0\), \(\sin x>0\).

\[ 1+\operatorname{tg}^2x =1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}. \]

Значит, \(\cos^2x=\frac9{25}\), и

\[ \cos x=-\frac35. \]

Тогда

\[ \sin x=\operatorname{tg}x\cdot\cos x =\left(-\frac43\right)\left(-\frac35\right)=\frac45, \qquad \operatorname{ctg}x=-\frac34. \]

400. \(\sin x=-\frac7{25}\), угол в IV четверти, поэтому \(\cos x>0\).

\[ \cos x=\sqrt{1-\frac{49}{625}} =\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}. \]

Отсюда

\[ \operatorname{tg}x=\frac{-7/25}{24/25}=-\frac7{24}, \qquad \operatorname{ctg}x=-\frac{24}{7}. \]

Проверка: во всех пунктах \(\sin^2x+\cos^2x=1\), а знаки соответствуют указанным четвертям.