397—400. Найти значения всех тригонометрических функций, если известно:

Отмечаем угол на единичной окружности: квадрант задаёт знаки, а координаты точки \(M(\cos x; \sin x)\) дают значения.

397. \(x \in \left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\) — II четверть: \(\cos x<0,\ \sin x>0\), точка \(M\!\left(-\tfrac{4}{5};\tfrac{3}{5}\right)\). \(\sin x=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6=\frac{3}{5}\); \(\ \operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}\); \(\ \operatorname{ctg}x=-\frac{4}{3}\).

398. \(x \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) — I четверть: оба положительны, \(M\!\left(\tfrac{5}{13};\tfrac{12}{13}\right)\). \(\operatorname{tg}x=\frac{1}{\operatorname{ctg}x}=\frac{12}{5}\); \(\ \sin x=\frac{12}{13}\), \(\cos x=\frac{5}{13}\) (так как \(\frac{\cos}{\sin}=\frac{5}{12}\)); \(\ \operatorname{ctg}x=\frac{5}{12}\).

399. \(x \in \left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\) — II четверть: \(\sin x>0,\ \cos x<0\), \(M\!\left(-\tfrac{3}{5};\tfrac{4}{5}\right)\). \(\operatorname{ctg}x=\frac{1}{\operatorname{tg}x}=-\frac{3}{4}\); \(\ \sin x=\frac{4}{5}\), \(\cos x=-\frac{3}{5}\).

400. \(x \in \left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right)\) — IV четверть: \(\sin x<0,\ \cos x>0\), \(M\!\left(\tfrac{24}{25};-\tfrac{7}{25}\right)\). \(\cos x=\sqrt{1-\frac{49}{625}}=\frac{24}{25}\); \(\ \operatorname{tg}x=-\frac{7}{24}\); \(\ \operatorname{ctg}x=-\frac{24}{7}\).

Проверка по окружности: у 397 и 399 точка слева сверху (II), у 398 — справа сверху (I), у 400 — справа снизу (IV) — знаки совпадают.

На единичной окружности берём точку
\[ M(\cos x;\ \sin x), \] её четверть задаёт знаки.

396. \(x\in \mathrm{IV}\), поэтому \(\cos x>0,\ \sin x<0\). \[ 1+\operatorname{tg}^2x=\frac1{\cos^2x},\qquad 1+\frac{64}{225}=\frac{289}{225}, \] \[ \cos x=\frac{15}{17},\quad \sin x=\cos x\cdot \operatorname{tg}x=-\frac{8}{17},\quad \operatorname{ctg}x=-\frac{15}{8}. \] Точка: \(\left(\frac{15}{17};-\frac{8}{17}\right)\).

Картинки не рисую, но вот окружности схемой — можно перечертить в тетрадь (точка \(M(\cos x;\sin x)\)).

396 — IV четверть

     ╭───────╮
   ╱     │     ╲
  │      │      │
──┼──────┼──────┼──→ x
  │      │     ●│   M(15/17; −8/17)
   ╲     │     ╱
     ╰───────╯

397 — II четверть

     ╭───────╮
   ╱     │     ╲
  │  ●   │      │   M(−4/5; 3/5)
──┼──────┼──────┼──→ x
  │      │      │
   ╲     │     ╱
     ╰───────╯

398 — I четверть

     ╭──●──╮
   ╱     │     ╲
  │      │      │   M(5/13; 12/13)
──┼──────┼──────┼──→ x
  │      │      │
   ╲     │     ╱
     ╰───────╯

399 — II четверть

     ╭───────╮
   ╱  ●  │     ╲   M(−3/5; 4/5)
  │      │      │
──┼──────┼──────┼──→ x
  │      │      │
   ╲     │     ╱
     ╰───────╯

400 — IV четверть

     ╭───────╮
   ╱     │     ╲
  │      │      │
──┼──────┼────●─┼──→ x   M(24/25; −7/25)
  │      │      │
   ╲     │     ╱
     ╰───────╯

Правило для подписей: точка справа от оси \(y\) — \(\cos x>0\) (I, IV), слева — \(\cos x<0\) (II, III); выше оси \(x\) — \(\sin x>0\) (I, II), ниже — \(\sin x<0\) (III, IV).

Если нужен файл-картинка (SVG) для печати — скажи, подготовлю.

Точка на окружности — \(M(\cos x;\ \sin x)\); ● поставлена схематично, положение ● в нужной четверти задаёт знаки.

396. IV четверть, \(M\left(\frac{15}{17};-\frac{8}{17}\right)\)

            y
            ↑
          * * *
        *   |   *
      *     |     *
    *       |       *
──*─────────+─────────*→ x
    *       |       *
      *     |     ●
        *   |   *
          * * *

397. II четверть, \(M\left(-\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)\)

            y
            ↑
          * * *
        *   |   *
      ●     |     *
    *       |       *
──*─────────+─────────*→ x
    *       |       *
      *     |     *
        *   |   *
          * * *

398. I четверть, \(M\left(\frac{5}{13};\frac{12}{13}\right)\)

            y
            ↑
          * * ●
        *   |   *
      *     |     *
    *       |       *
──*─────────+─────────*→ x
    *       |       *
      *     |     *
        *   |   *
          * * *

399. II четверть, \(M\left(-\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)\)

            y
            ↑
          * * *
        ●   |   *
      *     |     *
    *       |       *
──*─────────+─────────*→ x
    *       |       *
      *     |     *
        *   |   *
          * * *

400. IV четверть, \(M\left(\frac{24}{25};-\frac{7}{25}\right)\)

            y
            ↑
          * * *
        *   |   *
      *     |     *
    *       |       *
──*─────────+─────────*→ x
    *       |       ●
      *     |     *
        *   |   *
          * * *

Проверка: ● у 397 и 399 — слева сверху (II), у 398 — справа сверху (I), у 396 и 400 — справа снизу (IV); знаки совпадают с ответом.