2 часть

Question

2 часть

Расшифровка фото нейросетью:
2 часть. Тип 18.

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что $\angle POC = \angle PCO$.
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а $\angle ABC = 120^\circ$.

Answer

2 часть, тип 18

Кратко: а) равенство доказано; б) $S_{APC}=12\sqrt3$.

Ключевой факт. Так как $O$ — центр вписанной окружности, $BO$ — биссектриса $\angle ABC$. Поэтому $\angle ABP=\angle PBC$. Эти углы опираются на дуги $AP$ и $PC$, значит, дуги равны. Следовательно, $P$ — середина дуги $AC$, не содержащей $B$.

а) Обозначим
$$
\angle BAC=\alpha,\qquad \angle ABC=\beta,\qquad \angle ACB=\gamma.
$$
Дуга $AC$, не содержащая $B$, имеет градусную меру $2\beta$, а $P$ делит её пополам. Поэтому
$$
\angle PCA=\frac{\beta}{2}.
$$
Кроме того, $CO$ — биссектриса угла $C$, значит,
$$
\angle ACO=\frac{\gamma}{2}.
$$
Луч $CA$ проходит между $CP$ и $CO$, поэтому
$$
\angle PCO=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}.
$$

Теперь найдём $\angle POC$. Точки $B,O,P$ лежат на одной прямой, причём $O$ находится между $B$ и $P$. Значит,
$$
\angle POC=180^\circ-\angle BOC.
$$
В треугольнике $BOC$:
$$
\angle BOC=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}
=90^\circ+\frac{\alpha}{2}.
$$
Следовательно,
$$
\angle POC=180^\circ-\left(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)
=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.
$$
Но $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$, поэтому
$$
\frac{\beta+\gamma}{2}
=\frac{180^\circ-\alpha}{2}
=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.
$$
Значит,
$$
\angle POC=\angle PCO.
$$
Что и требовалось доказать.

б) По условию $\angle ABC=120^\circ$. Дуга $AC$, не содержащая $B$, равна
$$
2\cdot120^\circ=240^\circ.
$$
Точка $P$ делит её пополам, поэтому
$$
\widehat{AP}=\widehat{PC}=120^\circ.
$$
Тогда хорды
$$
AP=PC=2R\sin\frac{120^\circ}{2}
=2\cdot4\cdot\sin60^\circ
=4\sqrt3.
$$

Другая дуга $AC$ равна $360^\circ-240^\circ=120^\circ$, поэтому
$$
\angle APC=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.
$$
Итак, в треугольнике $APC$: $AP=PC$ и $\angle APC=60^\circ$. Значит, он равносторонний, и
$$
AC=AP=PC=4\sqrt3.
$$
Площадь:
$$
S_{APC}=\frac{\sqrt3}{4}(4\sqrt3)^2
=\frac{\sqrt3}{4}\cdot48
=12\sqrt3.
$$

Ответ: б) $12\sqrt3$.

Проверка: у равностороннего треугольника со стороной $4\sqrt3$ радиус описанной окружности равен $\frac{4\sqrt3}{\sqrt3}=4$, что совпадает с данным радиусом.