полный квадрат неполный квадрат

Коротко

• Полный квадрат — это \(a^{2} \pm 2ab + b^{2}\), он сворачивается в \((a \pm b)^{2}\). Главный признак — удвоенное произведение \(2ab\).
• Неполный квадрат — это \(a^{2} \pm ab + b^{2}\): двойки перед \(ab\) нет, поэтому в квадрат суммы/разности он не сворачивается. Он нужен в формулах суммы и разности кубов.

Как их различать

1. Найди два «крайних» слагаемых — это \(a^{2}\) и \(b^{2}\), значит \(a\) и \(b\) известны.
2. Посмотри на среднее слагаемое:

• равно \(2ab\) → полный квадрат, ответ \((a \pm b)^{2}\);
• равно просто \(ab\) → неполный квадрат, квадратом не является.

3. Знак среднего слагаемого задаёт знак в скобках.

Зачем нужен неполный квадрат

\[ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}), \qquad a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) \]

Здесь \(a^{2}-ab+b^{2}\) называют неполным квадратом разности, а \(a^{2}+ab+b^{2}\) — неполным квадратом суммы.

Проверка (раскрываем скобки): \[ (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3} \] Средние члены взаимно уничтожаются. Именно поэтому в скобке нужен неполный квадрат: если бы там стояло \(2ab\), уничтожения не произошло бы и куба не получилось.

Примеры

• \(x^{2}+6x+9\): здесь \(6x=2\cdot x\cdot 3\) → полный квадрат, \(=(x+3)^{2}\).
• \(x^{2}-5x+25\): здесь \(5x=x\cdot 5\), без двойки → неполный квадрат разности; сам в квадрат не сворачивается, но \(x^{3}+125=(x+5)(x^{2}-5x+25)\).
• \(4a^{2}-12ab+9b^{2}\): \(12ab=2\cdot 2a\cdot 3b\) → полный квадрат, \(=(2a-3b)^{2}\).

Полезно и обратное действие — выделение полного квадрата: \(x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4\).

Вывод для проверки: смотри только на среднее слагаемое — есть множитель 2 или нет.

Небольшое уточнение: на фото — совсем другая тема, фигуры на клетчатой сетке и подписи «S = …», то есть нахождение площади по клеткам. Какой из двух вариантов тебе нужен?