Контрольная работа 1. Рациональные выражения. B 4

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа 1
Рациональные выражения
B 4

1. Из данных выражений выберите целые рациональные выражения:
а) $y^{2}-5y+2$;
б) $\frac{a}{b+c}$;
в) $8,4m^{2}n+9k$;
г) $\frac{y^{2}}{z}+7y$.

2. Областью определения рациональной дроби $\frac{x+2}{x-3}$ является:
а) множество всех действительных чисел;
б) множество всех действительных чисел, кроме числа $-2$;
в) множество всех действительных чисел, кроме числа $3$;
г) множество всех действительных чисел, кроме чисел $-2$ и $3$.

3. Выполните вычитание рациональных дробей: $\frac{8x^{2}}{y}-\frac{5x^{2}}{y}$.

4. Сложите рациональные дроби $\frac{1}{c+2}$ и $\frac{2}{c^{2}+2c}$.

5. Представьте частное в виде несократимой рациональной дроби: $\frac{17m^{7}n}{x^{5}}:(34m^{2}n^{2})$.

6. Найдите произведение рациональных дробей: $\frac{x-5}{5x+1}\cdot\frac{15x+3}{x^{2}-25}$.

7. Сократите дробь $\frac{3x-2x^{2}-3y+2xy}{x^{2}-y^{2}}$.

8. Докажите, что значение выражения $\left(\frac{1}{x^{2}+x}-\frac{x}{x+1}\right):(1-x)-\frac{1}{x}$ не зависит от значения переменной.

9. Установите порядок действий и выполните действия:
$\left(\frac{x}{x+2}+\frac{4}{x^{2}-3x-10}-\frac{2}{x-5}\right):\frac{x-7}{x^{2}+2x}$.

10. Упростите выражение $\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-2}-b^{-2}}:\left(\frac{1}{b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1}}\right)^{-1}$.

Answer

На фото 10 номеров — решаю всю работу. Сначала ответы, затем ключевые шаги.

Ответы

1. а, в.

2. в.

3. $ \dfrac{3x^{2}}{y} $, $y\ne0$.

4. $ \dfrac{1}{c} $, $c\ne-2,\ 0$.

5. $ \dfrac{m^{5}}{2x^{5}n} $, $m,n,x\ne0$.

6. $ \dfrac{3}{x+5} $, $x\ne-5,\ 5,\ -\frac15$.

7. $ \dfrac{3-2x}{x+y} $, $x\ne\pm y$.

8. $0$, $x\ne-1,0,1$.

9. $ \dfrac{x^{2}}{x-5} $, $x\ne-2,0,5,7$.

10. $ab$, $a,b\ne0,\ a\ne\pm b$.

Как получилось

1. Целое рациональное выражение — это многочлен, без переменной в знаменателе. Подходят а) и в).

2. Знаменатель $x-3\ne0$, значит $x\ne3$. При $x=-2$ дробь определена, поэтому ответ в).

3. Знаменатели одинаковые:
$$
\frac{8x^{2}}{y}-\frac{5x^{2}}{y}=\frac{3x^{2}}{y}.
$$

4. Так как $c^{2}+2c=c(c+2)$:
$$
\frac{1}{c+2}+\frac{2}{c(c+2)}
=\frac{c+2}{c(c+2)}=\frac1c.
$$

5. Деление заменяем умножением на обратную дробь:
$$
\frac{17m^{7}n}{x^{5}}\cdot\frac{1}{34m^{2}n^{2}}
=\frac{m^{5}}{2x^{5}n}.
$$

6. Раскладываем:
$$
15x+3=3(5x+1),\quad x^{2}-25=(x-5)(x+5).
$$
После сокращения остаётся $\frac{3}{x+5}$.

7. Числитель:
$$
3x-2x^{2}-3y+2xy=(x-y)(3-2x),
$$
а $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$. После сокращения:
$$
\frac{3-2x}{x+y}.
$$

8. В скобках:
$$
\frac{1}{x^{2}+x}-\frac{x}{x+1}
=\frac{1-x}{x}.
$$
После деления на $1-x$ получаем $\frac1x$, затем вычитаем $\frac1x$: получается $0$. Значение не зависит от $x$.

9. Порядок: сначала действия в скобках, потом деление. Так как
$$
x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2),
$$
в скобках получаем:
$$
\frac{x(x-7)}{(x-5)(x+2)}.
$$
Затем:
$$
\frac{x(x-7)}{(x-5)(x+2)}\cdot\frac{x(x+2)}{x-7}
=\frac{x^{2}}{x-5}.
$$
Проверка при $x=1$: получается $-\frac14$, и $\frac{1}{1-5}=-\frac14$.

10. Переходим к положительным степеням:
$$
\frac{\frac1a+\frac1b}{\frac1{a^{2}}-\frac1{b^{2}}}
=\frac{ab}{b-a},\qquad
\left(\frac1{b^{-1}}-\frac1{a^{-1}}\right)^{-1}
=\frac1{b-a}.
$$
Поэтому деление даёт:
$$
\frac{ab}{b-a}\cdot (b-a)=ab.
$$