Умножение и деление обыкновенных дробей. Вычислите: а) 3/7 × 14/9 =; б) 2 1/3 × 1 1/4 =; в) 8/11 : 4/33 =; г) 3 3/5 : 1 2/5 =

Краткий ответ

а) \( \frac{3}{7} \times \frac{14}{9} = \frac{2}{3} \) б) \( 2\frac{1}{3} \times 1\frac{1}{4} = 2\frac{11}{12} \) в) \( \frac{8}{11} : \frac{4}{33} = 6 \) г) \( 3\frac{3}{5} : 1\frac{2}{5} = 2\frac{4}{7} \)

Три правила, на которых всё держится

1. Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Сокращать лучше до умножения — числа будут меньше. \[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d} \]
2. Смешанное число → неправильная дробь: \( A\frac{m}{n}=\frac{A\cdot n+m}{n} \). Нельзя умножать отдельно целые и отдельно дроби.
3. Деление: делить на дробь — то же, что умножать на обратную (перевёрнутую) дробь. \[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \]

Решение по шагам

а) Сокращаем перекрёстно: \(14\) и \(7\) — на \(7\) (получаем \(2\) и \(1\)); \(3\) и \(9\) — на \(3\) (получаем \(1\) и \(3\)): \[ \frac{3}{7}\cdot\frac{14}{9}=\frac{1\cdot 2}{1\cdot 3}=\frac{2}{3} \]

б) Переводим в неправильные дроби: \(2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\), \(1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\). Сокращать нечего: \[ \frac{7}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{35}{12}=2\frac{11}{12} \]

в) Переворачиваем вторую дробь: \(33\) и \(11\) сокращаются на \(11\) (\(3\) и \(1\)), \(8\) и \(4\) — на \(4\) (\(2\) и \(1\)): \[ \frac{8}{11}:\frac{4}{33}=\frac{8}{11}\cdot\frac{33}{4}=\frac{2\cdot 3}{1\cdot 1}=6 \]

г) \(3\frac{3}{5}=\frac{18}{5}\), \(1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}\). Делим: \[ \frac{18}{5}:\frac{7}{5}=\frac{18}{5}\cdot\frac{5}{7}=\frac{18}{7}=2\frac{4}{7} \] Пятёрки в числителе и знаменателе сократились — это самый быстрый ход.

Проверка обратным действием

• а) \( \frac{2}{3}:\frac{14}{9}=\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{14}=\frac{18}{42}=\frac{3}{7} \) ✓
• в) \( 6\cdot\frac{4}{33}=\frac{24}{33}=\frac{8}{11} \) ✓
• г) \( 2\frac{4}{7}\cdot 1\frac{2}{5}=\frac{18}{7}\cdot\frac{7}{5}=\frac{18}{5}=3\frac{3}{5} \) ✓