22. Тип 22 № 350313
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Тип 22 № 350313 Постройте график функции \[ y= \begin{cases} -x^2-2x+1 \text{ при } x\ge -3,\\ -x-5 \text{ при } x<-3. \end{cases} \] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Краткий ответ: \(m=-2\) или \(m=2\).
1. Строим график
При \(x<-3\): \[ y=-x-5. \] Это луч прямой, идущий вверх-влево. Он проходит через \((-4,-1)\), \((-5,0)\), \((-7,2)\) и приближается к точке \((-3,-2)\). Для этой ветви \(x=-3\) не входит, но сама точка \((-3,-2)\) есть на итоговом графике — её даёт вторая ветвь.
При \(x\ge -3\): \[ y=-x^2-2x+1=-(x+1)^2+2. \] Это часть параболы с ветвями вниз. Её вершина — \((-1,2)\). Она начинается в \((-3,-2)\), проходит через \((-2,1)\), \((0,1)\), \((1,-2)\). Нули параболы: \(x=-1\pm\sqrt{2}\).
В точке \((-3,-2)\) части графика смыкаются, разрыва нет.
2. Сколько точек даёт прямая \(y=m\)
Прямая \(y=m\) горизонтальная. У луча пересечение задаётся уравнением \[ m=-x-5 \quad\Rightarrow\quad x=-m-5, \] и это допустимо при \(x<-3\), то есть при \(m>-2\).
В столбце «левый луч» ниже учитываю только \(x<-3\); точка стыка отнесена к параболе.
| \(m\) | левый луч | парабола | всего |
|---|---|---|---|
| \(m<-2\) | 0 | 1 | 1 |
| \(m=-2\) | 0 | 2 | 2 |
| \(-2<m<2\) | 1 | 2 | 3 |
| \(m=2\) | 1 | 1 | 2 |
| \(m>2\) | 1 | 0 | 1 |
Проверка по точкам:
- при \(m=-2\): точки \((-3,-2)\) и \((1,-2)\);
- при \(m=2\): точки \((-7,2)\) и \((-1,2)\).
Значит, ровно две общие точки получаются только в двух случаях.
Ответ: \(m=-2\) или \(m=2\).
