1. Найдите значение выражения: а) 6¹¹ · 6⁻⁹; б) 9⁻⁴ : 9⁻²; в) (2⁻³)².

Кратко

1. а) \(36\); б) \(\frac{1}{81}\); в) \(\frac{1}{64}\).
2. а) \(x^2\); б) \(\frac{6b^3}{a^3}\).
3. а) \(\frac{81x^8}{y^{10}}\); б) \(21a^2b\).
4. \(25\).
5. \(3{,}06\cdot 10^{-1}\).

Почему так

Нужны свойства степеней: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]

1. а) \[ 6^{11}\cdot 6^{-9}=6^{11-9}=6^2=36. \] б) \[ 9^{-4}:9^{-2}=9^{-4-(-2)}=9^{-2}=\frac{1}{9^2}=\frac{1}{81}. \] в) \[ (2^{-3})^2=2^{-6}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}. \]

2. а) При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ (x^{-8})^2\cdot x^{18}=x^{-16}\cdot x^{18}=x^{2}. \] б) \[ 1{,}5a^{-4}b^6\cdot 4ab^{-3} =6a^{-3}b^3=\frac{6b^3}{a^3}. \]

3. а) \[ \left(\frac{1}{9}x^{-4}y^5\right)^{-2} =\left(\frac{1}{9}\right)^{-2}(x^{-4})^{-2}(y^5)^{-2} =81x^8y^{-10}=\frac{81x^8}{y^{10}}. \] б) Сначала перевернём дробь из-за степени \(-1\): \[ \left(\frac{7a^{-1}}{3b^{-3}}\right)^{-1} =\frac{3b^{-3}}{7a^{-1}} =\frac{3a}{7b^3}. \] Тогда \[ \frac{3a}{7b^3}\cdot 49ab^4 =3\cdot 7\cdot a^2b=21a^2b. \]

4. \[ \frac{5^{-6}\cdot 5^{-4}}{5^{-12}} =\frac{5^{-10}}{5^{-12}} =5^{-10-(-12)} =5^2=25. \]

5. Умножаем числовые множители и складываем показатели степеней: \[ (6{,}8\cdot 10^6)(4{,}5\cdot 10^{-8}) =6{,}8\cdot4{,}5\cdot10^{-2} =30{,}6\cdot10^{-2}. \] Чтобы коэффициент был от \(1\) до \(10\), записываем: \[ 30{,}6\cdot10^{-2}=3{,}06\cdot10^{-1}. \]