Про действительные числа a и b известно, что a/(a-b) - 3b/(a+b) = 1

Краткий ответ: \(5\).

Решение

Дано: \[ \frac{a}{a-b}-\frac{3b}{a+b}=1. \] Сначала учитываем, что знаменатели не равны нулю: \(a\ne b\), \(a\ne -b\).

Умножим уравнение на \((a-b)(a+b)\): \[ a(a+b)-3b(a-b)=(a-b)(a+b). \] Раскроем скобки: \[ a^2+ab-3ab+3b^2=a^2-b^2. \] Приведём подобные: \[ -2ab+4b^2=0, \] \[ -2b(a-2b)=0. \] Отсюда возможны два случая: \[ b=0 \quad \text{или} \quad a=2b. \]

Случай 1: \(b=0\).
Тогда \(a\ne0\), и \[ \frac{5a+2b}{a+2b}=\frac{5a}{a}=5. \]

Случай 2: \(a=2b\).
Тогда \(b\ne0\), и \[ \frac{5a+2b}{a+2b} = \frac{5\cdot 2b+2b}{2b+2b} = \frac{12b}{4b}=3. \]

Значит, выражение может равняться \(5\) или \(3\). Наибольшее значение: \[ \boxed{5} \]

Главное здесь — не делить сразу на \(b\), иначе потеряется случай \(b=0\), который и даёт наибольший ответ.

Проверка: при \(b=0,\ a=1\) исходное равенство выполнено и выражение равно \(5\); при \(a=2,\ b=1\) исходное равенство тоже выполнено, а выражение равно \(3\).