Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Вынести множитель за знак корня: \[ \sqrt{50}=5\sqrt2,\quad \sqrt{18}=3\sqrt2,\quad \sqrt{32}=4\sqrt2,\quad \sqrt{700}=10\sqrt7. \]

2. Упростить: \[ \sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{75}=6\sqrt3; \] \[ 0{,}7\sqrt{45}+\frac12\sqrt{20}=3{,}1\sqrt5. \]

3. Сравнить: \[ 4\sqrt3<5\sqrt2. \]

4. Упростить выражения: \[ \sqrt6(\sqrt2+\sqrt5)=2\sqrt3+\sqrt{30}; \] \[ (\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)=4; \] \[ (\sqrt{10}+\sqrt8)^2=18+8\sqrt5. \]

Уравнения: \[ x^2=49 \Rightarrow x=\pm7; \] \[ x^2=10 \Rightarrow x=\pm\sqrt{10}. \]

\[ \sqrt{x}-5=0 \Rightarrow x=25; \] \[ \frac12\sqrt{x}+3=0 \Rightarrow \text{корней нет}. \]

Как это решается

1. Ищем под корнем множитель, из которого извлекается точный квадрат: \[ 50=25\cdot2 \Rightarrow \sqrt{50}=5\sqrt2. \] Аналогично: \[ 18=9\cdot2,\quad 32=16\cdot2,\quad 700=100\cdot7. \]

2. Приводим все корни к одинаковым: \[ \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3. \] Тогда: \[ 3\sqrt3-2\sqrt3+5\sqrt3=6\sqrt3. \]

Во втором выражении: \[ \sqrt{45}=3\sqrt5,\quad \sqrt{20}=2\sqrt5, \] поэтому: \[ 0{,}7\cdot3\sqrt5+\frac12\cdot2\sqrt5 =2{,}1\sqrt5+\sqrt5=3{,}1\sqrt5. \]

3. Оба числа положительные, поэтому сравниваем их квадраты: \[ (4\sqrt3)^2=16\cdot3=48, \] \[ (5\sqrt2)^2=25\cdot2=50. \] Так как \(48<50\), то \(4\sqrt3<5\sqrt2\).

4. \[ \sqrt6(\sqrt2+\sqrt5)=\sqrt{12}+\sqrt{30}=2\sqrt3+\sqrt{30}. \]

Для разности квадратов: \[ (\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)=7-3=4. \]

Для квадрата суммы: \[ (\sqrt{10}+\sqrt8)^2=10+2\sqrt{80}+8=18+8\sqrt5. \]

Уравнения.
Из \(x^2=a\) получаем два корня: \(x=\pm\sqrt a\).
В уравнении \(\sqrt{x}=5\) возводим обе части в квадрат: \(x=25\). Проверка: \(\sqrt{25}-5=0\).

Во втором уравнении: \[ \frac12\sqrt{x}+3=0 \Rightarrow \sqrt{x}=-6, \] а корень не может быть отрицательным, поэтому решений нет.