1. Вынеси множитель за знак корня √50; √18; √32; √700; 2. Упростить √27 − √12 + √75; 0,7√45 + 1/2√20

На фото несколько номеров — ниже решения всех. В последнем блоке читаю уравнение как \(\sqrt{x}-5=0\): под корнем только \(x\).

1. Вынести множитель за знак корня

\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2, \] \[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2, \] \[ \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2, \] \[ \sqrt{700}=\sqrt{100\cdot7}=10\sqrt7. \]

Принцип: ищем в подкоренном числе наибольший квадрат: \(25,9,16,100\).

2. Упростить

\[ \sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{75} =3\sqrt3-2\sqrt3+5\sqrt3 =6\sqrt3. \]

\[ 0{,}7\sqrt{45}+\frac12\sqrt{20} =\frac{7}{10}\cdot3\sqrt5+\frac12\cdot2\sqrt5 =2{,}1\sqrt5+\sqrt5 =3{,}1\sqrt5. \]

Можно записать: \[ 3{,}1\sqrt5=\frac{31}{10}\sqrt5. \]

Принцип: одинаковые корни можно складывать и вычитать как подобные слагаемые.

3. Сравнить

Сравним квадраты чисел: \[ (4\sqrt3)^2=16\cdot3=48, \] \[ (5\sqrt2)^2=25\cdot2=50. \] Оба числа положительны, поэтому \[ 48<50 \Rightarrow 4\sqrt3<5\sqrt2. \]

Принцип: положительные числа можно сравнивать по их квадратам.

4. Упростить выражения

а) \[ \sqrt6(\sqrt2+\sqrt5) =\sqrt{12}+\sqrt{30} =2\sqrt3+\sqrt{30}. \]

б) \[ (\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3) =7-3=4. \] Использована формула разности квадратов.

в) \[ (\sqrt{10}+\sqrt8)^2 =10+2\sqrt{80}+8 =18+2\cdot4\sqrt5 =18+8\sqrt5. \]

Уравнения вида \(x^2=a\)

3. а) \[ x^2=49 \Rightarrow x=7 \text{ или } x=-7. \] Ответ: \(x=\pm7\).

б) \[ x^2=10 \Rightarrow x=\sqrt{10} \text{ или } x=-\sqrt{10}. \] Ответ: \(x=\pm\sqrt{10}\).

Принцип: если \(x^2=a>0\), то корней два: \(x=\sqrt a\) и \(x=-\sqrt a\).

Уравнения с квадратным корнем

1) \[ \sqrt{x}-5=0. \] Область допустимых значений: \(x\ge0\). \[ \sqrt{x}=5 \Rightarrow x=25. \] Проверка: \(\sqrt{25}-5=5-5=0\). Ответ: \(x=25\).

2) \[ \frac12\sqrt{x}+3=0. \] \[ \frac12\sqrt{x}=-3 \Rightarrow \sqrt{x}=-6. \] Квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому решений нет.

Принцип: после уединения корня справа должно стоять неотрицательное число; иначе корней нет.