234. Решите уравнение: а) (5y³ − 15y² − 2y + 6)/(y² − 9) = 0

Кратко: а) \(y = \pm\sqrt{\frac{2}{5}}\) (то же, что \(\pm\frac{\sqrt{10}}{5}\)); б) \(y = 4\); в) \(x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\); г) \(y = 4\).

Главная идея. Дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю: \[\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \text{ и } B \ne 0.\] Поэтому решаем в четыре шага: 1) раскладываем числитель на множители (здесь удобна группировка); 2) находим его нули; 3) находим нули знаменателя — это запрещённые значения; 4) выбрасываем из нулей числителя совпавшие с запрещёнными.

а) Группируем: \[5y^3 - 15y^2 - 2y + 6 = 5y^2(y - 3) - 2(y - 3) = (y - 3)(5y^2 - 2).\] Нули числителя: \(y = 3\) и \(y = \pm\sqrt{\frac{2}{5}}\). Знаменатель: \(y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)\), он обращается в нуль при \(y = \pm 3\). Значит \(y = 3\) — посторонний корень, остаётся \(y = \pm\sqrt{\frac{2}{5}}\).

б) Числитель: \[3y^3 - 12y^2 - y + 4 = 3y^2(y - 4) - (y - 4) = (y - 4)(3y^2 - 1),\] нули: \(y = 4\) и \(y = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\). Знаменатель: \(9y^4 - 1 = (3y^2 - 1)(3y^2 + 1)\); вторая скобка всегда положительна, а первая даёт \(y = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\). Эти значения запрещены, поэтому корень только \(y = 4\).

в) Числитель: \[6x^3 + 48x^2 - 2x - 16 = 6x^2(x + 8) - 2(x + 8) = (x + 8)(6x^2 - 2),\] нули: \(x = -8\) и \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\). Знаменатель: \(x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)\), нули \(x = \pm 8\). Значит \(x = -8\) отбрасываем, остаётся \(x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\).

г) Числитель: \[y^3 - 4y^2 - 6y + 24 = y^2(y - 4) - 6(y - 4) = (y - 4)(y^2 - 6),\] нули: \(y = 4\) и \(y = \pm\sqrt{6}\). Знаменатель: \(y^3 - 6y = y(y^2 - 6)\), нули \(y = 0\) и \(y = \pm\sqrt{6}\). Значит \(\pm\sqrt{6}\) отбрасываем, остаётся \(y = 4\).

Проверка (по одному значению):

• \(y = \sqrt{\frac{2}{5}}\): числитель \((y-3)(5y^2-2) = 0\), знаменатель \(\frac{2}{5} - 9 \ne 0\) — подходит;
• \(y = 4\) в б): \(3\cdot64 - 12\cdot16 - 4 + 4 = 0\), знаменатель \(9\cdot256 - 1 \ne 0\);
• \(x = \frac{1}{\sqrt{3}}\) в в): так как \(6x^2 = 2\), числитель \(2x + 16 - 2x - 16 = 0\), знаменатель \(\frac{1}{3} - 64 \ne 0\);
• \(y = 4\) в г): \(64 - 64 - 24 + 24 = 0\), знаменатель \(64 - 24 = 40 \ne 0\).

Обрати внимание на «ловушку»: в каждом пункте один из корней числителя специально совпадает с нулём знаменателя — именно поэтому проверка знаменателя обязательна.