3) Дано: AB, AC — касательные, OB = 2, AO = 4. Найти: ∠BOC. 4) Дано: AB — касательная, R = 6, AO = OB. Найти: AO.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
3. Дано: $AB, AC$ — касательные, $OB = 2$, $AO = 4$.
Найти: $\angle BOC$.
[Рисунок: окружность с центром $O$; из точки $A$ вне окружности проведены касательные $AB$ и $AC$; отмечены точки касания $B$ и $C$, проведены радиусы $OB$, $OC$ и отрезок $AO$.]
Рис. 3

4. Дано: $AB$ — касательная, $R = 6$, $AO = OB$.
Найти: $AO$.
[Рисунок: окружность с центром $O$; сверху проведена касательная $AB$, над отрезком $AB$ указано $16$; точки $A$ и $B$ соединены с центром $O$.]
Рис. 4

Answer

На фото два номера, решаю оба.

Ответ: 3) $\angle BOC=120^\circ$; 4) $AO=10$.

№ 3. По рисунку касательные проведены из точки $A$: это $AB$ и $AC$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\triangle AOB$ прямоугольный с прямым углом при $B$. В нём $OB=2$ — катет, $AO=4$ — гипотенуза:
$$
\cos \angle AOB=\frac{OB}{AO}=\frac{2}{4}=\frac12.
$$
Значит, $\angle AOB=60^\circ$. Прямоугольные треугольники $AOB$ и $AOC$ равны: у них общая гипотенуза $AO$ и равные катеты $OB=OC$ как радиусы. Поэтому $\angle AOC=60^\circ$, и
$$
\angle BOC=60^\circ+60^\circ=120^\circ.
$$

№ 4. По рисунку $AB=16$. Пусть $M$ — точка касания. Тогда $OM\perp AB$ и $OM=R=6$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ ($AO=OB$) высота $OM$ к основанию $AB$ является медианой:
$$
AM=MB=\frac{16}{2}=8.
$$
Из прямоугольного $\triangle AOM$:
$$
AO=\sqrt{AM^2+OM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.
$$

Проверка. В №3 сумма углов четырёхугольника $ABOC$: $90^\circ+90^\circ+60^\circ+120^\circ=360^\circ$. В №4 $OB=\sqrt{8^2+6^2}=10$, что равно $AO$.

Главный принцип: радиус в точку касания перпендикулярен касательной — так появляются прямоугольные треугольники, где работают теорема Пифагора и тригонометрия.